Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A(ξ) =
n
X
k=0
a
k
cos
k
ξ, a
k
∈ R, a
n
6= 0, (1)
A(ξ) ≥ 0 ξ ∈ R. (2)
B(ξ) =
n
X
k=0
b
k
e
kξ
, b
k
∈ R, b
n
6= 0, (3)
|B(ξ)|
2
≡ A(ξ). (4)
z ∈ C \ {0}
p(z) = z
n
n
X
k=0
a
k
2
k
z +
1
z
k
(5)
p(z) z = 0 p(0) = lim
z→0
p(z)
cos ξ = (e
iξ
+ e
−iξ
)/2
A(ξ) = e
−inξ
p(e
iξ
). (6)
p(z) 2n
a
0
6= 0
p(z) n
z
0
6= 0 p(z) z
−1
0
p(z) p(z)
z
0
p(z) ¯z
0
p(z) r
0
p(z)
r
−1
0
p(z) z
0
p(z) ¯z
0
z
−1
0
¯z
−1
0
p(z) |z
0
| = 1
z
0
z
−1
0
p(z
0
) = p
0
(z
0
) = p(z
−1
0
) = p
0
(z
−1
0
) = 0.
p(z)
                                Ÿ 7. Ëåììà Ðèññà
  Ïðè ïîñòðîåíèè âåéâëåòîâ Äîáåøè (ñì. Ÿ 8) ïðèìåíÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåì-
ìà, äîêàçàííàÿ âåíãåðñêèì ìàòåìàòèêîì Ôðèäüåøåì Ðèññîì â 1916 ã.
   Ëåììà. Ïóñòü
                             n
                             X
                    A(ξ) =          ak cosk ξ,         ak ∈ R,    an 6= 0,         (1)
                             k=0

 ÷åòíûé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòà-
ìè, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ
                           A(ξ) ≥ 0 äëÿ âñåõ ξ ∈ R.                                (2)
Òîãäà ñóùåñòâóåò òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì
                                n
                                X
                      B(ξ) =          bk ekξ ,        bk ∈ R,    bn 6= 0,          (3)
                                k=0

òàêîé, ÷òî
                                     |B(ξ)|2 ≡ A(ξ).                               (4)
   Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî z ∈ C \ {0} ïîëîæèì
                                n           k
                             n
                               X   ak      1
                    p(z) = z            z+                                         (5)
                                   2k      z
                               k=0

è äîîïðåäåëèì p(z) â òî÷êå z = 0 ïî íåïðåðûâíîñòè: p(0) = lim p(z). Èç
                                                                             z→0
ôîðìóëû Ýéëåðà cos ξ = (e + e  iξ      −iξ
                                             )/2 ñëåäóåò, ÷òî
                                    A(ξ) = e−inξ p(eiξ ).                          (6)
   Ìíîãî÷ëåí p(z) èìååò íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ðîâíî 2n êîðíåé (ñ ó÷å-
òîì êðàòíîñòåé). Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî a0 6= 0. Òîãäà äëÿ
ìíîãî÷ëåíà p(z) ÷èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì êðàòíîñòè n. Èç ôîðìóëû (5) âèä-
íî, ÷òî åñëè ÷èñëî z0 6= 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì p(z), òî ÷èñëî z0−1 òîæå ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì p(z). Ìíîãî÷ëåí p(z) èìååò âåùåñòâåííûå êîýôôèöèåíòû. Ïîýòîìó
åñëè êîìïëåêñíîå ÷èñëî z0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì p(z), òî ÷èñëî z̄0 òîæå ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì p(z). Çíà÷èò, åñëè r0  îòëè÷íûé îò íóëÿ âåùåñòâåííûé êîðåíü p(z),
òî ÷èñëî r0−1 òîæå êîðåíü p(z), à åñëè z0  îòëè÷íûé îò íóëÿ êîìïëåêñíûé
êîðåíü p(z), òî ÷èñëà z̄0 , z0−1 , z̄0−1 òîæå êîðíè p(z). Ïðè ýòîì â ñëó÷àå | z0 | = 1
êîðíè z0 è z0−1 áóäóò êðàòíûìè:

                      p(z0 ) = p0 (z0 ) = p(z0−1 ) = p0 (z0−1 ) = 0.
Âñå íåíóëåâûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà p(z) ñãðóïïèðóåì ïî òðåì ìíîæåñòâàì:

                                                 72

Страницы