Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A(ξ) A(0) = 1 B(ξ)
B(0) = 1
A(ξ) n
Q(z) n
|Q(e
iξ
)|
2
≡ A(ξ)
B(ξ) = Q(e
iξ
) Q(z) =
P
n
k=0
b
k
z
k
b
k
N
h
0
, h
1
, . . . , h
2N−1
ϕ
ϕ(t) =
√
2
2N−1
X
k=0
h
k
ϕ(2t − k) (1)
ϕ L
2
(R)
Z
R
ϕ(t) dt = 1 (2)
supp ϕ = [0, 2N − 1]
{ϕ(· − k) : k ∈ Z } L
2
(R)
V
j
=
span {ϕ(2
j
· −k) : k ∈ Z }, j ∈ Z ,
L
2
(R)
N = 1 ϕ = χ
[0,1)
N = 2 R
|ϕ(t) − ϕ(x)| ≤ C |t − x|
α
, t, x ∈ R,
α ≈ 0, 550 N ≥ 3
R N
0, 2N
N = 1 N = 2
3 ≤ N ≤ 10
A(ξ). Çíà÷èò, ïðè óñëîâèè A(0) = 1 ïîëèíîì B(ξ) ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî
B(0) = 1.
   Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ëåììó Ðèññà èíîãäà ôîðìóëèðóþò ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: äëÿ ëþáîãî ÷åòíîãî íåîòðèöàòåëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëèíîìà
A(ξ) ñòåïåíè n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñóùåñòâóåò àëãåáðàè-
÷åñêèé ïîëèíîì Q(z) ñòåïåíè n ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè òàêîé,
÷òî |Q(eiξ )|2 ≡ A(ξ). Ïåðåõîä ê ýòîé
                                    Pôîðìóëèðîâêå ïîëó÷àåòñÿ ñ ïîìîùüþ
                                      n
ôîðìóëû B(ξ) = Q(e ), ãäå Q(z) = k=0 bk z è êîýôôèöèåíòû bk òàêèå æå,
                      iξ                  k

êàê â (3).


        Ÿ 8. Ìàñøòàáèðóþùèå ôóíêöèè è âåéâëåòû Äîáåøè

   Â 1988 ã. Èíãðèä Äîáåøè äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî N äîêàçàëà ñóùåñòâî-
âàíèå âåùåñòâåííûõ êîýôôèöèåíòîâ h0 , h1 , . . . , h2N −1 òàêèõ, ÷òî ðåøåíèå ϕ
ìàñøòàáèðóþùåãî óðàâíåíèÿ
                                     −1
                                √ 2N
                                   X
                          ϕ(t) = 2      hk ϕ(2t − k)                       (1)
                                       k=0

îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
   1) ôóíêöèÿ ϕ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó L2 (R), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
íîðìèðîâêè                  Z
                                      ϕ(t) dt = 1                          (2)
                                  R
è èìååò êîìïàêòíûé íîñèòåëü: supp ϕ = [0, 2N − 1];
   2) ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z } îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R);
   3) ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ ïîäïðîñòðàíñòâ

                   Vj = span {ϕ(2j · −k) : k ∈ Z }, j ∈ Z ,
ÿâëÿåòñÿ êðàòíîìàñøòàáíûì àíàëèçîì â L2 (R).
  Ïðè N = 1 êîíñòðóêöèÿ Äîáåøè ïðèâîäèò ê ôóíêöèè Õààðà: ϕ = χ[0,1) , à
ïðè N = 2 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) íåïðåðûâíî íà R è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
Ëèïøèöà
                    | ϕ(t) − ϕ(x)| ≤ C | t − x|α ,   t, x ∈ R,
ñ ïîêàçàòåëåì α ≈ 0, 550. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ïðè N ≥ 3 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(1) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà R è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ N èõ
ãëàäêîñòü ðàñòåò ïðèáëèçèòåëüíî êàê 0, 2N (ïîäðîáíîñòè ñì. â [6]).
   Äëÿ N = 1 è N = 2 êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (51) ïðèâåäåíû ⠟ 4 (ñì.
ïðèìåðû 1 è 2).  òàáëèöå 6.1 êíèãè [6] äàíû çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî
óðàâíåíèÿ äëÿ 3 ≤ N ≤ 10.


                                        74

Страницы