Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

y = sin
2
(ξ/2)
(1 − y)
N
P (y) + y
N
P (1 − y) = 1. (9)
P
N
(y) :=
N−1
X
j=0
N − 1 + j
j
y
j
P (y) = P
N
(y) + y
N
R(1/2 − y),
R(y)
P (y) ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1
P
N
(y)
(1 − y)
−N
=
∞
X
j=0
N − 1 + j
j
y
j
.
R(y) ≡ 0
h
0
, h
1
, . . . , h
2N−1
H(ξ)
|H(ξ)|
2
=
1 + cos ξ
2
N
P
N
(sin
2
(ξ/2)). (10)
A(ξ) P
N
(sin
2
(ξ/2)) N = 2
P
2
(sin
2
(ξ/2)) =
1
0
+
2
1
sin
2
(ξ/2) = 2 − cos ξ.
b
0
b
1
b
0
+ b
1
= 1
(b
0
+ b
1
e
−iξ
)(b
0
+ b
1
e
iξ
) = 2 −
1
2
(e
iξ
+ e
−iξ
) (11)
b
0
b
1
A(ξ) = 2 − cos ξ
b
2
0
+ b
2
1
= 2, b
0
b
1
= −
1
2
.
b
0
+ b
1
= 1
b
0
=
1 +
√
3
2
, b
1
=
1 −
√
3
2
.
Ïîëàãàÿ y = sin2 (ξ/2), èç (6) è (8) ïîëó÷àåì
                      (1 − y)N P (y) + y N P (1 − y) = 1.                 (9)

  Ïðåäëîæåíèå 5. Ïîëèíîì
                                    N −1          
                                    X        N −1+j j
                        PN (y) :=                    y
                                    j=0
                                                j

óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (9) è âñÿêîå ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâ-
íåíèÿ èìååò âèä
                     P (y) = PN (y) + y N R(1/2 − y),
ãäå R(y)  íå÷åòíûé àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì, âûáðàííûé òàê, ÷òîáû
P (y) ≥ 0 äëÿ 0 ≤ y ≤ 1.
  Îòìåòèì, ÷òî PN (y) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíîé ñóììîé áèíîìèàëüíîãî ðÿäà
                                      ∞        
                                     X    N −1+j j
                      (1 − y)−N    =              y.
                                     j=0
                                             j

   Ìàñøòàáèðóþùèå ôóíêöèè Äîáåøè ïîëó÷àþòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà R(y) ≡ 0.
Òî÷íåå ãîâîðÿ, êîýôôèöèåíòû h0 , h1 , . . . , h2N −1 â ôîðìóëå (1) âûáèðàþòñÿ
òàê, ÷òîáû òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì H(ξ) óäîâëåòâîðÿë óñëîâèþ
                                               N
                         2        1 + cos ξ
                   |H(ξ)| =                          PN (sin2 (ξ/2)).    (10)
                                     2
Àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ îñíîâàí íà ïðèâåäåííîì ⠟ 7 äî-
êàçàòåëüñòâå ëåììû Ðèññà (ïðè ýòîì â êà÷åñòâå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëè-
íîìà A(ξ) ñëåäóåò ïðèíÿòü PN (sin2 (ξ/2))). Íàïðèìåð, â ñëó÷àå N = 2 èìååì
                                   
                                 1   2
              P2 (sin2 (ξ/2)) =    +    sin2 (ξ/2) = 2 − cos ξ.
                                 0   1
Íàéäåì âåùåñòâåííûå ÷èñëà b0 è b1 òàêèå, ÷òî b0 + b1 = 1 è
                                                    1
                 (b0 + b1 e−iξ )(b0 + b1 eiξ ) = 2 − (eiξ + e−iξ )  (11)
                                                    2
(ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ b0 è b1 ñëåäóåò èç ëåììû Ðèññà, ïðèìåíåííîé ê ïîëè-
íîìó A(ξ) = 2 − cos ξ ). Èç ðàâåíñòâà (11) ñëåäóåò, ÷òî
                                               1
                          b20 + b21 = 2,
                                     b0 b1 = − .
                                               2
Óñëîâèþ b0 + b1 = 1 óäîâëåòâîðÿþò çíà÷åíèÿ
                                √              √
                            1+ 3           1− 3
                       b0 =       , b1 =         .
                               2              2
                                           76

Страницы