Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ψ ϕ
ψ(t) =
√
2
X
k∈Z
g
k
ϕ(2t − k), (3)
g
k
= (−1)
k
h
1−k
0 ≤ 1 − k ≤ 2N − 1 g
k
= 0
ψ N
Z
R
t
l
ψ(t) dt = 0 0 ≤ l ≤ N −1
Z
R
t
N
ψ(t) dt 6= 0 ; (4)
supp ψ = [−N + 1, N]
ψ ϕ
ϕ R l
ψ
2N−1
X
k=0
h
k
=
√
2.
bϕ(ξ) = H(ξ/2)bϕ(ξ/2), H(ξ) =
1
√
2
2N−1
X
k=0
h
k
e
−ikξ
, (5)
H(0) = 1 H(ξ)
|H(ξ)|
2
+ |H(ξ + π)|
2
= 1 (6)
H(ξ) =
1 + e
−iξ
2
N
B(ξ), (7)
B(ξ) B(π) 6= 0
|H(ξ)|
2
= H(ξ)H(−ξ) =
1 + cos ξ
2
N
B(ξ)B(−ξ). (8)
B(ξ)B(−ξ)
P (y)
B(ξ)B(−ξ) = P (sin
2
(ξ/2)).
  Îðòîãîíàëüíûé âåéâëåò ψ , ñîîòâåòñòâóþùèé ðåøåíèþ ϕ óðàâíåíèÿ (1),
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                  √ X
                         ψ(t) =    2  gk ϕ(2t − k),                                      (3)
                                        k∈Z

ãäå gk = (−1)k h1−k , åñëè 0 ≤ 1 − k ≤ 2N − 1, è gk = 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
   1) âåéâëåò ψ èìååò N íóëåâûõ ìîìåíòîâ:
        Z                                                      Z
             tl ψ(t) dt = 0 äëÿ 0 ≤ l ≤ N − 1 è                      tN ψ(t) dt 6= 0 ;   (4)
         R                                                       R

   2) supp ψ = [−N + 1, N ];
   3) ãëàäêîñòü âåéâëåòà ψ ñîâïàäàåò ñ ãëàäêîñòüþ ôóíêöèè ϕ (íàïðèìåð,
åñëè ôóíêöèÿ ϕ èìååò íà ïðÿìîé R íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà l, òî
èç ôîðìóëû (3) ñëåäóåò, ÷òî òàêèì æå ñâîéñòâîì îáëàäàåò è âåéâëåò ψ ).
  Èíòåãðèðóÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1) è ïîëüçóÿñü óñëîâèåì íîðìèðîâêè (2),
ïîëó÷àåì
                               2N −1
                                X               √
                                        hk =        2.
                                  k=0
Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, èç (1) èìååì
                                                    2N −1
                                                  1 X
               ϕ(ξ)
               b = H(ξ/2)ϕ(ξ/2),
                         b                H(ξ) = √        hk e−ikξ ,                     (5)
                                                   2 k=0

ãäå H(0) = 1. Ñîãëàñíî (4.23), (4.35) è (4) òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì H(ξ)
äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì

                          |H(ξ)|2 + |H(ξ + π)|2 = 1                                      (6)
è                                                N
                                      1 + e−iξ
                                  
                         H(ξ) =                          B(ξ),                           (7)
                                         2
ãäå B(ξ)  òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì, B(π) 6= 0. Òîãäà
                                                         N
                                              1 + cos ξ
              |H(ξ)|2 = H(ξ)H(−ξ) =                              B(ξ)B(−ξ).              (8)
                                                 2
Ïðîèçâåäåíèå B(ξ)B(−ξ) ÿâëÿåòñÿ ÷åòíûì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ïîëèíîìîì.
Çíà÷èò, ñóùåñòâóåò àëãåáðàè÷åñêèé ïîëèíîì P (y) òàêîé, ÷òî

                         B(ξ)B(−ξ) = P (sin2 (ξ/2)).

                                         75

Страницы