Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

r
l
r
−1
l
e
iθ
k
e
−iθ
k
z
j
¯z
j
z
−1
j
¯z
−1
j
z
j
¯z
j
p(z) = 2
−n
a
n
z
n
Y
j
(z −z
j
)(z − ¯z
j
)(z −z
−1
j
)(z − ¯z
−1
j
)×
×
Y
k
(z −e
iθ
k
)
2
(z −e
−iθ
k
)
2
Y
l
(z −r
l
)(z −r
−1
l
). (7)
z
0
6= 0
|(e
iξ
− z
0
)(e
iξ
− ¯z
−1
0
)| = |z
0
|
−1
|(e
iξ
− z
0
)(z
0
e
iξ
− 1)| =
= |z
0
|
−1
|(e
iξ
− z
0
)(e
−iξ
− ¯z
0
)| = |z
0
|
−1
|e
iξ
− z
0
|
2
. (8)
A(ξ) = |A(ξ)| = |p(e
iξ
)| = 2
−n
|a
n
|
Y
j
|z
j
|
−1
(e
iξ
− z
j
)(e
iξ
− ¯z
j
)
2
×
×
Y
k
(e
iξ
− e
iθ
k
)(e
iξ
− e
−iθ
k
)
2
Y
l
|r
l
|
−1
|e
iξ
− r
l
|
2
.
B(ξ) = 2
−n/2
|a
n
|
1/2
Y
j
|z
j
|
−1
(e
iξ
− z
j
)(e
iξ
− ¯z
j
)×
Y
k
(e
iξ
− e
iθ
k
)(e
iξ
− e
−iθ
k
)
Y
l
|r
l
|
−1/2
(e
iξ
− r
l
) (9)
2
p(z) B(ξ)
B(ξ) A(ξ)
B(ξ)
z
j
¯z
j
z
−1
j
¯z
−1
j
z
j
z
−1
j
z
j
r
l
A(0) = 1 |B(0)| = 1
˜
B(ξ) = B(ξ)/B(0)
˜
B(0) = 1 |
˜
B(ξ)| ≡
   rl , rl−1  ïàðû âåùåñòâåííûõ êîðíåé,
   eiθk , e−iθk  ïàðû êðàòíûõ êîðíåé íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè,
   zj , z̄j , zj−1 , z̄j−1  ÷åòâåðêè êîìïëåêñíûõ êîðíåé (ïåðâûå äâà êîðíÿ zj , z̄j
êàæäîé ÷åòâåðêè ðàñïîëîæåíû ëèáî âíóòðè, ëèáî âíå åäèíè÷íîé îêðóæíî-
ñòè).
    ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå
                                   Y
                 p(z) = 2−n an z n (z − zj )(z − z̄j )(z − zj−1 )(z − z̄j−1 )×
                                  j
                  Y                      Y
                                  −iθk 2
                         iθk 2
                 × (z − e ) (z − e )      (z − rl )(z − rl−1 ).                                   (7)
                        k                                l
   Äëÿ ëþáîãî z0 6= 0 èìååì
             | (eiξ − z0 )(eiξ − z̄0−1 )| = | z0 |−1 | (eiξ − z0 )(z0 eiξ − 1)| =
                = | z0 |−1 | (eiξ − z0 )(e−iξ − z̄0 )| = | z0 |−1 | eiξ − z0 |2 .                 (8)
   Ïîëüçóÿñü óñëîâèåì (2) è ðàâåíñòâàìè (6)  (8), ïîëó÷àåì
                                                                                           2
                                                    Y
      A(ξ) = | A(ξ)| = | p(eiξ )| = 2−n | an |               | zj |−1 (eiξ − zj )(eiξ − z̄j ) ×
                                                     j

                                                         2
                  Y                            Y
                ×  (eiξ − eiθk )(eiξ − e−iθk )   | rl |−1 | eiξ − rl |2 .
                     k                                        l

   Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì
                                          Y
                B(ξ) = 2−n/2 | an |1/2         | zj |−1 (eiξ − zj )(eiξ − z̄j )×
                                           j
                  Y                   Y
                                 −iθk
                     iξ  iθk iξ
                   (e − e )(e − e )     | rl |−1/2 (eiξ − rl )                                    (9)
                    k                                    l
èìååò âèä (3) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4).
                                                                          2
   Ïðîâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî êîíñòðóêòèâíî: åñëè âû÷èñëåíû êîðíè ìíî-
ãî÷ëåíà p(z), òî òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ïîëèíîì B(ξ) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
(9). Îäíàêî ïîëèíîì B(ξ) ïî A(ξ) îïðåäåëÿåòñÿ íå îäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëü-
íî, êàê âèäíî èç (9), ïîëèíîì B(ξ) èçìåíèòñÿ, åñëè â êàêîé-íèáóäü ÷åòâåðêå
êîìïëåêñíûõ êîðíåé zj , z̄j , zj−1 , z̄j−1 ïîìåíÿòü ìåñòàìè ïåðâûå è âòîðûå ïàðû
(ò.å. çàìåíèòü zj íà zj−1 ). Ïðè ïîñòðîåíèè êëàññè÷åñêèõ âåéâëåòîâ Äîáåøè
âñå zj (è rl ) áåðóòñÿ âíóòðè åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè (ñì. [6, ñ.269]).
   Åñëè äîïîëíèòåëüíî èçâåñòíî, ÷òî A(0) = 1, òî â ñèëó (4) èìååì |B(0)| = 1.
Ïîëèíîì B̃(ξ) = B(ξ)/B(0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì B̃(0) = 1 è |B̃(ξ)| ≡

                                               73

Страницы