Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

3
X
k=0
h
k
e
−ikξ
=
1
4
√
2
(1 + 2e
−iξ
+ e
−2iξ
)(1 +
√
3) + (1 −
√
3)e
−iξ
).
h
0
, h
1
, h
2
, h
3
η
0
= χ
[−1/2,1/2)
, η
m
(·) =
√
2
2N−1
X
k=0
h
k
η
m−1
(2 · −k), m ∈ N. (12)
t ∈ R
ϕ(t) = lim
m→∞
η
m
(t).
bη
0
(ξ) =
sin(ξ/2)
ξ/2
, bη
m
(ξ) = H(ξ/2)bη
m−1
(ξ/2) =
m
Y
j=1
H(ξ/2
j
)
!
bη
0
(2
−m
ξ).
lim
m→∞
bη
m
(ξ) =
∞
Y
j=1
H(ξ/2
j
) = bϕ(ξ).
{η
m
} ϕ
ϕ
m
(·) =
X
k
a
m
k
2
m/2
χ
[−1/2,1/2]
(2
m
· −k), m ∈ N, (13)
a
0
k
= δ
0,k
, a
j
k
=
X
l
h
k−2l
a
j−1
l
, j = 1, 2, . . . , m, (14)
h
k
Ó÷èòûâàÿ (7), èìååì
        3
        X               1                         √         √
             hk e−ikξ = √ (1 + 2e−iξ + e−2iξ )(1 + 3) + (1 − 3)e−iξ ).
         k=0
                       4 2

Îòñþäà ïîëó÷àþòñÿ çíà÷åíèÿ h0 , h1 , h2 , h3 , óêàçàííûå â ïðèìåðå 2.
   çàêëþ÷åíèå èçëîæèì äâà ìåòîäà âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ìàñøòàáèðóþ-
ùèõ ôóíêöèé Äîáåøè. Èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ìàñøòàáèðóþùåãî
óðàâíåíèÿ (1) ñîñòîèò â ðåàëèçàöèè ñëåäóþùèõ äâóõ øàãîâ.
  Øàã 1. Îïðåäåëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé
                                                     −1
                                                √ 2N
                                                   X
          η0 = χ[−1/2,1/2) ,            ηm (·) = 2      hk ηm−1 (2 · − k),           m ∈ N.        (12)
                                                         k=0

  Øàã 2. Äëÿ t ∈ R ïðèíÿòü
                                              ϕ(t) = lim ηm (t).
                                                       m→∞

   Ñõîäèìîñòü ýòîãî ìåòîäà îáîñíîâûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èç ôîðìóë
(12) èìååì
                                                                          m
                                                                                           !
              sin(ξ/2)                                                    Y
  ηb0 (ξ) =            ,      ηbm (ξ) = H(ξ/2)b
                                              ηm−1 (ξ/2) =                      H(ξ/2j ) ηb0 (2−m ξ).
                 ξ/2                                                      j=1

Îòñþäà â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4 ñëåäóåò, ÷òî
                                                      ∞
                                                      Y
                               lim ηbm (ξ) =                H(ξ/2j ) = ϕ(ξ).
                                                                       b
                              m→∞
                                                      j=1

Âûïîëíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü {ηm } ñõîäèòñÿ ê ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ.
   Êàñêàäíûé ìåòîä ðåøåíèÿ ìàñøòàáèðóþùåãî óðàâíåíèÿ (1) îïðåäåëÿåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì.
   Øàã 1. Íàéòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé
                      X
             ϕm (·) =   amk 2
                             m/2
                                 χ[−1/2,1/2] (2m · − k), m ∈ N,  (13)
                                    k

ãäå                                               X
                   a0k   = δ0,k ,       ajk   =       hk−2l aj−1
                                                             l ,    j = 1, 2, . . . , m,           (14)
                                                  l
è êîýôôèöèåíòû hk , îòñóòñòâóþùèå â óðàâíåíèè (1), ïðèíèìàþòñÿ ðàâíûìè
íóëþ.

                                                        77

Страницы