Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

t ∈ R
ϕ(t) = lim
m→∞
ϕ
m
(t).
{ϕ
m
}
m ∈ N ϕ
m
[2
−m
k, 2
−m
(k + 1)] k ∈ Z
ϕ
m
(2
−m
k) = 2
m/2
a
m
k
ϕ
m
(2
−m
2k) =
√
2
X
l
h
2(k−l)
ϕ
m−1
(2
−j+1
l), (15)
ϕ
m
(2
−m
(2k + 1)) =
√
2
X
l
h
2(k−l)+1
ϕ
m−1
(2
−j+1
l). (16)
supp ϕ = [0, 2N − 1] ϕ(0) = ϕ(2N − 1) = 0
ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(2N − 2)
ϕ(1) + ϕ(2) + ··· + ϕ(2N −2) = 1.
m = 1
ϕ
0
(t + k) = (1 − t)ϕ(k) + t ϕ(k + 1) t ∈ [0, 1], k = 0, 1, . . . , 2N − 2.
m ≥ 2 ϕ
k/2
m
[0, 2N − 1]
m
ϕ [0, 2N − 1]
ψ
g
k
= (−1)
k+1
h
−k−1
g
k
= (−1)
k
h
N−k
h
k
N = 1
  Øàã 2. Äëÿ t ∈ R ïðèíÿòü
                               ϕ(t) = lim ϕm (t).
                                      m→∞


   Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëû (14) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñïåöèàëüíûé ñëó÷àé ôîð-
ìóë (4.15).
   Èíîãäà â êàñêàäíîì ìåòîäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {ϕm } îïðåäåëÿþò èíà÷å.
À èìåííî, äëÿ êàæäîãî m ∈ N â êà÷åñòâå ϕm âûáèðàþò êóñî÷íî-ëèíåéíóþ
ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé íà îòðåçêàõ [2−m k, 2−m (k + 1)], k ∈ Z,
è òàêîé, ÷òî ϕm (2−m k) = 2m/2 am
                                k . Ïðè ýòîì

                       −m
                                 √ X
                  ϕm (2     2k) = 2  h2(k−l) ϕm−1 (2−j+1 l),                 (15)
                                       l
                                    √ X
              ϕm (2−m (2k + 1)) =    2  h2(k−l)+1 ϕm−1 (2−j+1 l).            (16)
                                           l

  Íàïîìíèì, ÷òî supp ϕ = [0, 2N − 1]. Ïîýòîìó ϕ(0) = ϕ(2N − 1) = 0.
Çíà÷åíèÿ ϕ(1), ϕ(2), . . . , ϕ(2N − 2) íàõîäÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ (1) ïðè óñëîâèè

                     ϕ(1) + ϕ(2) + · · · + ϕ(2N − 2) = 1.
Ïðè m = 1 ïðàâûå ÷àñòè ôîðìóë (15) è (16) îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðà-
âåíñòâ

 ϕ0 (t + k) = (1 − t)ϕ(k) + t ϕ(k + 1) äëÿ t ∈ [0, 1], k = 0, 1, . . . , 2N − 2.
Ïîñëå ýòîãî äëÿ äàííîãî m ≥ 2 ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ϕ â äâîè÷íî-
ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ k/2m , ëåæàùèõ íà îòðåçêå [0, 2N − 1], íàõîäÿòñÿ ïî
ôîðìóëàì (15) è (16). Âûáèðàÿ m äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ýòèì ñïîñîáîì ïî-
ëó÷àþò ãðàôèê ôóíêöèè ϕ íà îòðåçêå [0, 2N − 1]. Îáîñíîâàíèå êàñêàäíîãî
ìåòîäà èìååòñÿ ⠟ 6.5 êíèãè Äîáåøè [6].

Óïðàæíåíèÿ
   1. Êàêèì áóäåò íîñèòåëü ôóíêöèè ψ , îïðåäåëåííîé ïî ôîðìóëå (3), åñëè
â ýòîé ôîðìóëå ïîëîæèòü: a) gk = (−1)k+1 h−k−1 , b) gk = (−1)k hN −k ? Ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû hk áåðóòñÿ èç ôîðìóëû (1).
  2. Ïðîâåðüòå, ÷òî ïðè N = 1 êîíñòðóêöèÿ Äîáåøè ïðèâîäèò ê âåéâëåòó
Õààðà.
  3. Íàïèøèòå ïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ìàñøòàáèðóþùèõ
ôóíêöèé Äîáåøè êàñêàäíûì ìåòîäîì.




                                       78

Страницы