Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N
1
(t) = N
1
(2t) + N
1
(2t − 1),
2N
2
(t) = N
2
(2t) + 2N
2
(2t − 1) + N
2
(2t − 2),
4N
3
(t) = N
3
(2t) + 3N
3
(2t − 1) + 3N
3
(2t − 2) + N
3
(2t − 3).
r
f ∈ C
r−1
(R) [k, k + 1] k ∈ N
r k
S
r
(Z) S
0
(Z) S
1
(Z)
k ∈ Z
B N
m
S
m−1
(Z)
m ≥ 2 {N
m
(·−k)| k ∈ Z}
V
0
= S
m−1
∩ L
2
(R).
0 < A
m
≤
X
k∈Z
|
b
N
m
(ξ + 2πk)|
2
≤ 1, ξ ∈ R, (3)
A
m
m
ϕ ∈ L
2
(R)
bϕ(ξ) =
b
N
m
(ξ)
X
k∈Z
|
b
N
m
(ξ + 2πk)|
2
!
−1/2
, (4)
|bϕ(ξ)| ≤ A
−1/2
m
|
b
N
m
(ξ)|, ξ ∈ R.
ϕ(t) =
1
2π
Z
R
bϕ(ξ)e
itξ
dξ, t ∈ R,
bϕ(ξ)
1
0
ϕ V
0
= S
m−1
∩ L
2
(R)
2
0
{ϕ(· − k)| k ∈ Z}
V
0
3
0
supp ϕ
4
0
lim
t→∞
ϕ(t)e
γ|t|
= 0 γ > 0
                        N1 (t) = N1 (2t) + N1 (2t − 1),
                2N2 (t) = N2 (2t) + 2N2 (2t − 1) + N2 (2t − 2),
         4N3 (t) = N3 (2t) + 3N3 (2t − 1) + 3N3 (2t − 2) + N3 (2t − 3).
   Ñïëàéíîì ñòåïåíè r äåôåêòà 1 ñ öåëî÷èñëåííûìè óçëàìè íàçûâàåòñÿ
ôóíêöèÿ f ∈ C r−1 (R), ñîâïàäàþùàÿ íà êàæäîì îòðåçêå [k, k + 1], k ∈ N,
ñ íåêîòîðûì ïîëèíîìîì ñòåïåíè r (ýòîò ïîëèíîì çàâèñèò îò k ). Ìíîæåñòâî
òàêèõ ñïëàéíîâ îáîçíà÷àåòñÿ Sr (Z); â ÷àñòíîñòè, S0 (Z) è S1 (Z) ñîñòîÿò ñîîò-
âåòñòâåííî èç êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé è ëîìàíûõ ñ óçëîâûìè òî÷êàìè
k ∈ Z.
   Íîðìàëèçîâàííûé B -ñïëàéí Nm ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Sm−1 (Z).
  Ïóñòü m ≥ 2. Èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà {Nm (· − k)| k ∈ Z} ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì
Ðèññà ïðîñòðàíñòâà
                             V0 = Sm−1 ∩ L2 (R).
Êðîìå òîãî, âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
                            X
                 0 < Am ≤          bm (ξ + 2πk)|2 ≤ 1,
                                  |N                            ξ ∈ R,     (3)
                            k∈Z

ãäå êîíñòàíòà Am çàâèñèò òîëüêî îò m (ñì., íàïðèìåð, [23, ôîðìóëà (4.2.21)]).
  Ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (R), ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå êîòîðîé èìååò âèä
                                                               !−1/2
                                       X
                  ϕ(ξ)
                  b =N bm (ξ)                 bm (ξ + 2πk)|2
                                             |N                        ,   (4)
                                       k∈Z

íàçûâàåòñÿ ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèåé Áàòëà  Ëåìàðüå. Îòìåòèì, ÷òî ñî-
ãëàñíî (3) è (4) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

                       |ϕ(ξ)|
                        b     ≤ A−1/2
                                 m |Nm (ξ)|,
                                      b                ξ ∈ R.
   Òàêèì îáðàçîì, ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ Áàòëà  Ëåìàðüå ìîæåò áûòü
çàäàíà ðàâåíñòâîì
                                   Z
                              1              itξ
                      ϕ(t) =            ϕ(ξ)e
                                        b        dξ,    t ∈ R,
                             2π     R

ãäå ϕ(ξ)
    b    èìååò âèä (4). Ýòà ôóíêöèÿ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:
   10 . Ôóíêöèÿ ϕ ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó V0 = Sm−1 ∩ L2 (R).
   20 . Ñèñòåìà {ϕ(· − k)| k ∈ Z} ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì ïðî-
ñòðàíñòâà V0 .
   30 . Íîñèòåëü supp ϕ íå êîìïàêòåí.
   40 . lim ϕ(t)eγ| t| = 0 ïðè íåêîòîðîì γ > 0.
      t→∞

                                             80

Страницы