Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4
0
C > 0
|ϕ(t)| ≤ Ce
−γ|t|
t ∈ R,
ϕ
ϕ {N
m
(· − k)| k ∈ Z}
V
0
ϕ(t) =
X
k∈Z
α
k
N
m
(t − k), t ∈ R. (5)
bϕ(ξ) =
X
k∈Z
α
k
e
−ikξ
b
N
m
(ξ), ξ ∈ R. (6)
bϕ(ξ) =
b
N
m
(ξ)
p
e
2m−2
(ξ)
, (7)
e
n
(ξ) :=
2 sin
ξ
2
n+2
X
k∈Z
1
(ξ + 2πk)
n+2
.
α
k
1/
p
e
2m−2
(ξ)
α
k
=
1
2π
Z
2π
0
e
ikξ
p
e
2m−2
(ξ)
dξ, k ∈ Z. (8)
x = cos(ξ/2)
e
n
(ξ) = u
n
(x), (9)
{u
n
(x)}
u
0
(x) = 1, u
n
(x) = xu
n−1
(x) +
1 − x
2
n + 1
u
0
n−1
(x), n ∈ N.
u
1
(x) = x, u
2
(x) =
1
3
(1 + 2x
2
),
u
3
(x) =
1
3
(2x + x
3
), u
4
(x) =
1
15
(2 + 11x
2
+ 2x
4
).
ϕ
       Èç ñâîéñòâà 40 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå êîíñòàíòû C > 0 òàêîé, ÷òî

                            | ϕ(t)| ≤ Ce−γ| t| äëÿ âñåõ t ∈ R,
ò.å. ϕ óáûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíî.
       Ðàçëîæèì ôóíêöèþ ϕ ïî áàçèñó Ðèññà {Nm (· − k)| k ∈ Z} ïðîñòðàíñòâà
V0 :                                  X
                             ϕ(t) =          αk Nm (t − k),             t ∈ R.              (5)
                                       k∈Z
Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïîëó÷èì
                                      X
                             ϕ(ξ)
                             b =             αk e−ikξ N
                                                      bm (ξ),           ξ ∈ R.              (6)
                                      k∈Z

Èç ôîðìóëû (4) ñëåäóåò, ÷òî

                                           N
                                           bm (ξ)
                                      ϕ(ξ)
                                      b =p           ,                                      (7)
                                           e2m−2 (ξ)
ãäå                                             n+2 X
                                             ξ                          1
                       en (ξ) :=       2 sin                                   .
                                             2                    (ξ + 2πk)n+2
                                                            k∈Z

Èçp
  (6) è (7) âèäíî, ÷òî ÷èñëà αk ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ôóíêöèè
1/ e2m−2 (ξ), òî åñòü
                                            2π
                                                     eikξ
                                      Z
                                  1
                            αk =                 p                dξ,    k ∈ Z.             (8)
                                 2π     0         e2m−2 (ξ)

       Èçâåñòíî, ÷òî åñëè x = cos(ξ/2), òî

                                            en (ξ) = un (x),                                (9)
ãäå ñèñòåìà {un (x)} îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè

                                                   1 − x2 0
              u0 (x) = 1,     un (x) = xun−1 (x) +       u (x),                    n ∈ N.
                                                   n + 1 n−1
 ÷àñòíîñòè,
                                                                  1
              u1 (x) = x,                                 u2 (x) = (1 + 2x2 ),
                                                                  3
                      1                                            1
              u3 (x) = (2x + x3 ),                        u4 (x) = (2 + 11x2 + 2x4 ).
                      3                                           15
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (5), (8) è (9) ìîæíî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ.

                                                     81

Страницы