Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

p
n
I
(n)
k
= [k2
−n
, (k + 1)2
−n
), k ∈ Z,
n
I
(0)
0
= [0, 1) ∆
{h
n
| n ∈ Z
+
} ∆
n = 0 h
0
(t) = 1 t ∈ ∆
n ∈ N
h
n
(t) =
2
j/2
, t ∈ I
(j+1)
2k
,
−2
j/2
, t ∈ I
(j+1)
2k+1
,
0, t ∈ ∆ \ I
(j)
k
,
j, k ∈ Z
+
n = 2
j
+ k, 0 ≤ k ≤ 2
j
− 1
j = max{s ∈ Z
+
| 2
s
≤ n} k = n − 2
j
{h
n
| n ∈ Z
+
}
L
2
(∆)
f ∈ L
1
(∆)
c
0
(f) =
Z
1
0
f(t) dt c
n
(f) = 2
j/2
Z
I
(j+1)
2k
f(t) dt −
Z
I
(j+1)
2k+1
f(t) dt
!
,
n = 2
j
+ k 0 ≤ k ≤ 2
j
−1 f
∞
X
n=0
c
n
(f)h
n
. (1)
           Ãëàâà 3. Äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è
         êðàòíîìàñøòàáíûé p-àíàëèç íà ïîëóïðÿìîé


Ÿ 1. Ñèñòåìû Õààðà, Óîëøà è Ðàäåìàõåðà íà åäèíè÷íîì èíòåðâàëå
  Ïóñòü n  öåëîå ÷èñëî. Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëîâûå ïðîìåæóòêè
                               (n)
                              Ik = [k2−n , (k + 1)2−n ),           k ∈ Z,
íàçûâàþòñÿ äâîè÷íûìè (èëè äèàäè÷åñêèìè) èíòåðâàëàìè ðàíãà n. Äâîè÷-
               (0)
íûé èíòåðâàë I0 = [0, 1) îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ∆. Cëåäóþùèå äâà ýëåìåíòàð-
íûõ ñâîéñòâà áûëè ñôîðìóëèðîâàíû ⠟ 1 ãëàâû 2; äîêàçàòåëüñòâà îñòàëüíûõ
óòâåðæäåíèé íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà èìåþòñÿ â [3], [4] è [8].
  1.1. Ëþáûå äâà äâîè÷íûõ èíòåðâàëà îäíîãî ðàíãà íå ïåðåñåêàþòñÿ.
  1.2. Åñëè äâà äâîè÷íûõ èíòåðâàëà ïåðåñåêàþòñÿ, òî îäèí èç íèõ ñîäåð-
æèòñÿ â äðóãîì.
   Cèñòåìà ôóíêöèé Õààðà {hn | n ∈ Z+ } íà ∆ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
   1) ïðè n = 0 ñ÷èòàþò h0 (t) = 1 äëÿ âñåõ t ∈ ∆;
   2) ïðè n ∈ N ïîëàãàþò
                               
                                               (j+1)
                                2j/2 , t ∈ I2k ,
                               
                                               (j+1)
                      hn (t) =    −2j/2 , t ∈ I2k+1 ,
                                                    (j)
                                    0,    t ∈ ∆ \ Ik ,
                               

ãäå ÷èñëà j, k ∈ Z+ îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé

                                 n = 2j + k,      0 ≤ k ≤ 2j − 1
(òàê ÷òî j = max{ s ∈ Z+ | 2s ≤ n}, k = n − 2j ).
  1.3. Ñèñòåìà Õààðà {hn | n ∈ Z+ } ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì
ïðîñòðàíñòâà L2 (∆).
  Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ L1 (∆) ïîëîæèì
                                                                                              !
                 Z   1                                  Z                      Z
     c0 (f ) =           f (t) dt è cn (f ) = 2j/2                f (t) dt −            f (t) dt ,
                                                          (j+1)                 (j+1)
                 0                                       I2k                   I2k+1

ãäå n = 2j + k , 0 ≤ k ≤ 2j − 1. Ðÿä Ôóðüå ôóíêöèè f ïî ñèñòåìå Õààðà èìååò
âèä
                                          ∞
                                          X
                                                cn (f )hn .                                          (1)
                                          n=0

                                                 83

Страницы