Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

N − 1 = 2
m
+ k 0 ≤ k ≤ 2
m
− 1
S
N
f(t) :=
N−1
X
n=0
c
n
(f)h
n
(t)
t ∈ ∆
S
N
f(t) =
(
2
m+1
R
I
(m+1)
l
f(τ) dτ t ∈ I
(m+1)
l
, 0 ≤ l ≤ 2k + 1,
2
m
R
I
(m)
l
f(τ) dτ t ∈ I
(m)
l
, k + 1 ≤ l ≤ 2
m
− 1.
{h
n
| n ∈ Z
+
} L
q
(∆)
1 ≤ q < ∞
f ∆
kfk
∆
:= sup
0≤t<1
|f(t)|.
N
o(1/N) N → ∞
f ∆ f 6= const
lim
N→∞
(N · kf − S
N
fk
∆
) 6= 0,
S
N
f
D
N
N −1
g =
N−1
X
k=0
a
k
h
k
, (2)
a
k
D
N
:= span{h
0
, h
1
, . . . , h
N−1
}.
N −1 = 2
m
I
(m)
k
0 ≤ k ≤ 2
m
− 1 N − 1 = 2
m
+ k 0 ≤ k ≤ 2
m
− 1
D
N
I
(m+1)
l
0 ≤ l ≤ 2k + 1 I
(m)
l
k < l ≤
2
m
− 1
∆
C
b
(∆) f ∈ C
b
(∆)
α
(m)
j
(f) := sup{f(t) | t ∈ I
(m)
j
}, β
(m)
j
(f) := inf{f(t) | t ∈ I
(m)
j
},
  1.4. Åñëè N − 1 = 2m + k , 0 ≤ k ≤ 2m − 1, òî çíà÷åíèå ÷àñòè÷íîé ñóììû
                                             N
                                             X −1
                               SN f (t) :=          cn (f )hn (t)
                                             n=0

ðÿäà (2) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå t ∈ ∆ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
                                                      (m+1)
                 (
                     2m+1 I (m+1) f (τ ) dτ äëÿ t ∈ Il
                          R
                                                            , 0 ≤ l ≤ 2k + 1,
    SN f (t) =               l
                                                  (m)
                     2m I (m) f (τ ) dτ äëÿ t ∈ Il , k + 1 ≤ l ≤ 2m − 1.
                       R
                          l


  1.5. Ñèñòåìà Õààðà {hn | n ∈ Z+ } ïîëíà âî âñåõ ïðîñòðàíñòâàõ Lq (∆),
1 ≤ q < ∞.
   Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè f , îãðàíè÷åííîé íà èíòåðâàëå ∆, ïîëîæèì
                                 kf k∆ := sup | f (t)|.
                                             0≤t<1

Ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ, íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, îòëè÷íûå îò ïî-
ñòîÿííûõ, íå ìîãóò ðàâíîìåðíî ïðèáëèæàòüñÿ ïîëèíîìàìè Õààðà ïîðÿäêà N
ñî ñêîðîñòüþ o(1/N ) ïðè N → ∞.
  1.6. Ïóñòü ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà ∆. Åñëè f 6= const, òî
                              lim (N · kf − SN f k∆ ) 6= 0,
                              N →∞

ãäå SN f  ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (1).
    Îáîçíà÷èì ÷åðåç DN ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ Õààðà ñòåïåíè íå âûøå N −1,
ò.å. ïîëèíîìîâ âèäà
                                            N
                                            X −1
                                     g=            ak hk ,                            (2)
                                             k=0
ãäå ak  ïðîèçâîëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîëàãàåì
                          DN := span{h0 , h1 , . . . , hN −1 }.

  1.7. Åñëè N − 1 = 2m , òî êàæäàÿ ôóíêöèÿ âèäà (2) ÿâëÿåòñÿ ñòóïåí÷àòîé
                                                                                      (m)
ôóíêöèåé, ïðèíèìàþùåé ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ íà äâîè÷íûõ èíòåðâàëàõ Ik ,
0 ≤ k ≤ 2m − 1.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà N − 1 = 2m + k , 0 ≤ k ≤ 2m − 1,
ìíîæåñòâî DN ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé, èíòåðâàëàìè
                              (m+1)                       (m)
ïîñòîÿíñòâà êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ Il     äëÿ 0 ≤ l ≤ 2k + 1 è Il äëÿ k < l ≤
2m − 1.
   Ìíîæåñòâî âñåõ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ íà ∆, îáîçíà÷èì
÷åðåç Cb (∆). Äëÿ äàííîé ôóíêöèè f ∈ Cb (∆) ïîëîæèì
        (m)                           (m)            (m)                      (m)
      αj (f ) := sup{f (t) | t ∈ Ij },             βj (f ) := inf{f (t) | t ∈ Ij },

                                              84

Страницы