Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
ψ
b
ψ(ξ) = G(ξ/2)bϕ(ξ/2), (10)
G(ξ) = e
−iξ
H(ξ + π), H(ξ) = bϕ(2ξ)/ bϕ(ξ). (11)
b
N
m
(2ξ) = e
−iξm/2
cos
m
(ξ/2)
b
N
m
(ξ),
b
ψ(ξ) = G(ξ/2)
b
N
m
(ξ/2)
p
e
2m−2
(ξ/2)
. (12)
ψ(t) =
X
k∈Z
β
k
N
m
(t − k), t ∈ R, (13)
β
k
=
1
2π
Z
2π
0
G(ξ)e
ikξ
p
e
2m−2
(ξ)
dξ, k ∈ Z. (14)
ψ
1
0
ψ m − 1
k/2 k ∈ Z
2
0
{2
j/2
ψ(·−k)| j, k ∈ Z}
L
2
(R)
3
0
k = 0, 1, . . . , m − 1
Z
R
t
k
ψ(t) dt = 0.
4
0
supp ψ
5
0
γ > 0
lim
t→∞
ψ(t)e
γ|t|
= 0.
ψ
   Ïî ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ îð-
òîãîíàëüíûé âåéâëåò ψ . À èìåííî, ïóñòü

                           ψ(ξ)
                           b = G(ξ/2)ϕ(ξ/2),
                                     b                                  (10)
ãäå
                G(ξ) = e−iξ H(ξ + π),             H(ξ) = ϕ(2ξ)/
                                                         b     ϕ(ξ).
                                                                b       (11)
Çàìå÷àÿ, ÷òî
                     bm (2ξ) = e−iξm/2 cosm (ξ/2)N
                     N                           bm (ξ),
èç (7), (10) è (11) âûâîäèì ôîðìóëó

                        b = G(ξ/2) pNm (ξ/2) .
                                    b
                        ψ(ξ)                                            (12)
                                    e2m−2 (ξ/2)
Îòñþäà àíàëîãè÷íî (5) è (8) èìååì
                               X
                      ψ(t) =             βk Nm (t − k),    t ∈ R,       (13)
                               k∈Z

ãäå
                                    2π
                                          G(ξ)eikξ
                               Z
                          1
                    βk =                 p           dξ,    k ∈ Z.      (14)
                         2π    0           e2m−2 (ξ)
   Âåéâëåò Áàòëà  Ëåìåðüå ψ , îïðåäåëåííûé ôîðìóëàìè (13) è (14), îáëà-
äàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
   10 . Âåéâëåò ψ ÿâëÿåòñÿ ñïëàéíîì ñòåïåíè m − 1 äåôåêòà 1 ñ óçëîâûìè
òî÷êàìè k/2, k ∈ Z.
   20 . Ñèñòåìà {2j/2 ψ(· − k)| j, k ∈ Z} ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì
ïðîñòðàíñòâà L2 (R).
   30 . Äëÿ k = 0, 1, . . . , m − 1 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
                                    Z
                                       tk ψ(t) dt = 0.
                                    R

  40 . Íîñèòåëü supp ψ íå êîìïàêòåí.
  50 . Ñóùåñòâóåò ÷èñëî γ > 0 òàêîå, ÷òî

                                   lim ψ(t)eγ| t| = 0.
                               t→∞


  Ãðàôèê âåéâëåòà ψ ìîæåò áûòü ïîñòðîåí ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (13) è (14).

  Óïðàæíåíèå. Íàïèøèòå ïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ìàñøòà-
áèðóþùèõ ôóíêöèé Áàòëà  Ëåìåðüå.

                                             82

Страницы