Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
(R) ψ ϕ ψ
N
X
k∈Z
(−1)
k
k
l
c
k
= 0 0 ≤ l ≤ N − 1.
A
3
D
3
A
∗
3
D
∗
3
ϕ(t) = sinc πt =
sin πt/πt, t 6= 0,
1, t = 0.
(1)
1
2π
π
Z
−π
e
iξt
dξ = sinc πt
χ
[−π,π]
(ξ)
X
k∈Z
|bϕ(ξ + 2πk)|
2
= 1
{ϕ(· − k) : k ∈ Z} L
2
(R)
V
0
L
2
(R)
[−π, π]
f ∈ V
0
f(t) =
X
k∈Z
f(k) sinc π(t − k). (2)
{ϕ(· − k) : k ∈ Z}
V
0
V
j
= {f ∈ L
2
(R) : supp
b
f ⊂ [−2
j
π, 2
j
π] }, j ∈ Z ,
V
j
⊂ V
j+1
,
\
V
j
= {0},
[
V
j
= L
2
(R)
ϕ
j,k
(t) = 2
j/2
ϕ(2
j
t − k), j, k ∈ Z .
â L2 (R), à ôóíêöèÿ ψ ïîëó÷åíà èç ϕ ïî ôîðìóëå (9). Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ψ
èìååò N íóëåâûõ ìîìåíòîâ, òî
                   X
                         (−1)k k l ck = 0 äëÿ 0 ≤ l ≤ N − 1.
                   k∈Z


  9. Óêàæèòå ÿâíûé âèä ìàòðèö A3 , D3 è A∗3 , D3∗ â ôîðìóëàõ (24) è (25)
ïðè óñëîâèÿõ ïðèìåðîâ 1 è 2.


                Ÿ 5. Âåéâëåò Êîòåëüíèêîâà  Øåííîíà

  Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà
                                            
                                                 sin πt/πt,    t 6= 0,
                   ϕ(t) = sinc πt =                                               (1)
                                                     1,       t = 0.

Èç ôîðìóëû
                                     Zπ
                                 1
                                          eiξt dξ = sinc πt
                                2π
                                     −π

âèäíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ôóíêöèè (1) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ χ[−π,π] (ξ).
Ïîýòîìó óñëîâèå         X
                            b + 2πk)|2 = 1 ï.â.
                           |ϕ(ξ
                            k∈Z

âûïîëíåíî è ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R).
  Ïóñòü V0 ñîñòîèò èç òåõ ôóíêöèé ïðîñòðàíñòâà L2 (R), ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ôóðüå êîòîðûõ îáðàùàþòñÿ â íóëü âíå îòðåçêà [−π, π]. Ïî òåîðåìå Êîòåëü-
íèêîâà  Øåííîíà êàæäàÿ ôóíêöèÿ f ∈ V0 ïðåäñòàâèìà â âèäå
                                     X
                           f (t) =         f (k) sinc π(t − k).                   (2)
                                     k∈Z

Ó÷èòûâàÿ (1), ïîëó÷àåì, ÷òî ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} ÿâëÿåòñÿ îðòîíîð-
ìèðîâàííûì áàçèñîì ïîäïðîñòðàíñòâà V0 . Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñåìåéñòâà
ïîäïðîñòðàíñòâ

             Vj = { f ∈ L2 (R) : supp fb ⊂ [−2j π, 2j π] },              j ∈ Z,
ñâîéñòâà                          \                    [
                  Vj ⊂ Vj+1 ,             Vj = {0},        Vj = L2 (R)
î÷åâèäíû. Êàê â îáùåì ñëó÷àå (ñì. (4.6)), ïîëîæèì

                      ϕj,k (t) = 2j/2 ϕ(2j t − k),       j, k ∈ Z .

                                                67

Страницы