Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

bϕ(ξ)
bϕ(ξ) = bϕ(0)
∞
Y
j=1
H(ξ/2
j
). (31)
bϕ(ξ) =
∞
Y
j=1
H(ξ/2
j
). (32)
H(ξ) H(0) = 1
P
k∈Z
|h
k
||k|
ε
< ∞ ε > 0
R
2π H(ξ)
F (ξ) ξ ∈ R F ∈
L
2
(R) ||F || ≤ 1
2π H(ξ)
R H(0) = 1 H(ξ) 6= 0
ξ ∈ [−π/2, π/2] ϕ ∈ L
2
(R)
{ϕ(·−k) : k ∈ Z}
L
2
(R)
b
ψ(ξ) = G(ξ/2) bϕ(ξ/2), (33)
G(ξ) =
1
√
2
X
k∈Z
g
k
e
−ikξ
, g
k
= (−1)
k
¯
h
1−k
. (34)
G(ξ) = e
−iξ
H(ξ + π). (35)
H(ξ) H(ξ + π)
G(ξ) G(ξ + π)
(36)
ξ ∈ R
ψ N
Z
R
t
l
ψ(t) dt = 0 0 ≤ l ≤ N − 1
Z
R
t
N
ψ(t) dt 6= 0. (37)
 ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ ϕ(ξ)
                          b    íåïðåðûâíà â îêðåñòíîñòè íóëÿ, òî
                                        ∞
                                        Y
                           ϕ(ξ)
                           b = ϕ(0)
                                b              H(ξ/2j ).                          (31)
                                         j=1

Ïðè óñëîâèè íîðìèðîâêè (11) ðàâåíñòâî (31) ïðèíèìàåò âèä
                                      ∞
                                      Y
                              ϕ(ξ)
                              b =           H(ξ/2j ).                             (32)
                                      j=1


   Ïðåäëîæåíèå 4. Ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà:
P 1. Ïóñòüε ôóíêöèÿ H(ξ) çàäàíà ïî ôîðìóëå (27). Åñëè H(0) = 1 è
   k∈Z |hk | |k| < ∞ äëÿ íåêîòîðîãî ε > 0, òî ïðîèçâåäåíèå (30) ñõîäèòñÿ
ðàâíîìåðíî íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ èç R.
   2. Åñëè 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ H(ξ) îáëàäàåò ñâîéñòâîì (28), à ïðî-
èçâåäåíèå (30) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè F (ξ) äëÿ ïî÷òè âñåõ ξ ∈ R, òî F ∈
L2 (R) è ||F || ≤ 1.
   3. Ïóñòü 2π -ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ H(ξ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà
íà R è îáëàäàåò ñâîéñòâîì (28) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî H(0) = 1 è H(ξ) 6= 0
äëÿ âñåõ ξ ∈ [−π/2, π/2]. Òîãäà ñóøåñòâóåò ôóíêöèÿ ϕ ∈ L2 (R) òàêàÿ, ÷òî
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (22) è ñèñòåìà {ϕ(· − k) : k ∈ Z} îðòîíîðìèðîâàíà
â L2 (R).
   Ïðèìåíèì òåïåðü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà (9). Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôîðìóëó

                            ψ(ξ)
                            b = G(ξ/2)ϕ(ξ/2),
                                      b                                           (33)
ãäå
                          1 X
                  G(ξ) = √       gk e−ikξ ,     gk = (−1)k h̄1−k .                (34)
                           2 k∈Z
Èç ôîðìóë (27) è (34) âèäíî, ÷òî

                             G(ξ) = e−iξ H(ξ + π).                                (35)
Ó÷èòûâàÿ (28), çàìå÷àåì, ÷òî ìàòðèöà
                                                   
                                 H(ξ) H(ξ + π)
                                                                                  (36)
                                 G(ξ) G(ξ + π)
ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé äëÿ ï.â. ξ ∈ R.
  Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ψ èìååò N íóëåâûõ ìîìåíòîâ, åñëè
        Z                                                  Z
             tl ψ(t) dt = 0 äëÿ 0 ≤ l ≤ N − 1 è                tN ψ(t) dt 6= 0.   (37)
         R                                                 R

                                       64

Страницы