Ряды Фурье и основы вейвлет-анализа. Фарков Ю.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
2
(R)
ϕ
L
2
(R)
ϕ
ϕ ∈ L
2
(R) {ϕ(· − k) : k ∈ Z}
L
2
(R)
X
k∈Z
|bϕ(ξ + 2πk)|
2
= 1 ξ ∈ R. (10)
ϕ
bϕ R
bϕ(0) 6= 0
ϕ
C > 0
|ϕ(t)| ≤
C
1 + t
2
t ∈ R
ϕ R
| bϕ(0)| = 1
Z
R
ϕ(t) dt = bϕ(0) = 1. (11)
j {ψ
jk
:
k ∈ Z } W
j
P
j
: L
2
(R) → V
j
Q
j
: L
2
(R) → W
j
j ∈ Z
P
j
f =
X
k
a
jk
ϕ
jk
, a
jk
= (f, ϕ
jk
),
Q
j
f =
X
k
d
jk
ψ
jk
, d
jk
= (f, ψ
jk
).
f ∈ L
2
(R)
P
j+1
f = P
j
f + Q
j
f, kP
j+1
fk
2
= kP
j
fk
2
+ kQ
j
fk
2
, j ∈ Z . (12)
ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì âåéâëåòîì â L2 (R).
  Îòìåòèì, ÷òî îðòîãîíàëüíûé âåéâëåò ïî ìàñøòàáèðóþùåé ôóíêöèè ϕ
îïðåäåëÿåòñÿ íåîäíîçíà÷íî (ñì. íèæå çàìå÷àíèå 2). Èìååò ìåñòî ñëåäóþ-
ùèé êðèòåðèé îðòîíîðìèðîâàííîñòè â L2 (R) ñèñòåìû öåëî÷èñëåííûõ ñäâèãîâ
ôóíêöèè ϕ.
  Ïðåäëîæåíèå 1. Ïóñòü ϕ ∈ L2 (R). Cèñòåìà {ϕ(· − k) :                             k ∈ Z}
îðòîíîðìèðîâàíà â L2 (R) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
                X
                      b + 2πk)|2 = 1 äëÿ ï.â. ξ ∈ R.
                    |ϕ(ξ                                                              (10)
                    k∈Z

   Ñëåäóþùèå äâà ïðåäëîæåíèÿ ñîäåðæàò óñëîâèÿ, äîñòàòî÷íûå äëÿ ñïðà-
âåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (8).
   Ïðåäëîæåíèå 2. Ïóñòü ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ îðòîãîíàëüíîñòè (10), à ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ϕ
                                                     b îãðàíè÷åíî íà R
è íåïðåðûâíî â îêðåñòíîñòè íóëÿ, ïðè÷åì ϕ(0)
                                         b 6= 0. Òîãäà âåðíî ðàâåíñòâî
(8).
   Ïðåäëîæåíèå 3. Ïóñòü ìàñøòàáèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ îðòîãîíàëüíîñòè (10) è ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C > 0 òàêàÿ,
÷òî
                                 C
                     | ϕ(t)| ≤         äëÿ âñåõ t ∈ R
                               1 + t2
(â ÷àñòíîñòè, ϕ ìîæåò èìåòü êîìïàêòíûé íîñèòåëü íà R). Òîãäà ðà-
âåíñòâî (8) ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ | ϕ(0)|
                                      b    = 1.
    Â ñâÿçè ñ ïðåäëîæåíèåì 3 ïðèíèìàþò ñëåäóþùåå óñëîâèå íîðìèðîâêè:
                             Z
                                     ϕ(t) dt = ϕ(0)
                                               b = 1.                                 (11)
                                 R

   Ïðè óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî j ñèñòåìà {ψjk :
k ∈ Z } ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà Wj . Îðòîãî-
íàëüíûå ïðîåêòîðû Pj : L2 (R) → Vj è Qj : L2 (R) → Wj äëÿ êàæäîãî
j ∈ Z îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
                                 X
                       Pj f =          ajk ϕjk ,   ajk = (f, ϕjk ),
                                 k

è                                X
                       Qj f =          djk ψjk ,   djk = (f, ψjk ).
                                 k

    Äëÿ ëþáîé f ∈ L2 (R) ñîãëàñíî (1) èìååì

         Pj+1 f = Pj f + Qj f,       kPj+1 f k2 = kPj f k2 + kQj f k2 ,   j ∈ Z.      (12)

                                              59

Страницы