Дифференциальные уравнения. Файницкий Ю.Л. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

(, ) (, )d (, ) (, )d 0xy Mxy x xy Nxy y
µ
µ
⋅+⋅=
. (15)
При
0
µ
≠ общее решение этого уравнения совпадает с общим решением
уравнения (14). Если полученное таким образом уравнение (15) является
уравнением в полных дифференциалах, то функция
(, )x
y
µ
называется ин-
тегрирующим множителем уравнения (14).
Пусть функции
(, ), (, ), (, )
M
x
y
Nx
y
x
y
µ
имеют непрерывные част-
ные производные в некоторой односвязной области. Тогда равенство
()()
M
N
yx
µ
µ
∂
=
∂∂
(16)
представляет собой необходимое и достаточное условие того, что соотноше-
ние (15) – уравнение в полных дифференциалах.
Предположим, что это условие выполняется и
µ
зависит только от пере-
менной
, то есть
x
()x
µ
µ
=
. Тогда равенство (16) принимает вид
d
d
M
N
N
yxx
µ
µµ
∂
∂
=+
∂
∂
,
или
1d 1
d
M
N
xN y x
µ
µ
⎛⎞
∂
∂
=−
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
. (17)
Если
()x
µ
µ
=
, то равенство (17) возможно при том и только при том ус-
ловии, что величина
1
M
N
Ny x
⎛⎞
∂
∂
−
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
является функцией переменной
. В этом случае, решая уравнение (17),
можно найти интегрирующий множитель
x
()x
µ
.
Аналогично, если
()y
µ
µ
=
, то
1d 1
d
NM
yM x y
µ
µ
⎛⎞
∂∂
=−
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
,
где
15

Страницы