Дифференциальные уравнения. Файницкий Ю.Л. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Определение. Линия Г называется огибающей однопараметрического се-
мейства кривых, если эта линия касается каждой кривой данного семейства,
причем в различных точках линии Г ее касаются различные кривые семейст-
ва.
Например, каждая из прямых
1y
=
±
является огибающей семейства ок-
ружностей
22
()xC y 1
−
+=
.
Продифференцируем обе части равенства (21) по
и составим систему
уравнений
C
(, , ) 0,
(, , ) 0.
xyC
xyC
C
Φ
=
⎧
⎪
∂
⎨
Φ
=
⎪
∂⎩
Исключим параметр
из этой системы. В результате получится уравне-
ние, содержащее
и . Предположим, что оно определяет некоторую
функцию
C
x y
()yx
ψ
=
. Если эта функция удовлетворяет уравнению (20), то она
задает огибающую семейства интегральных кривых (21), а огибающая такого
семейства представляет собой особое решение уравнения (20) [3, гл. XIII,
§ 11
12].
−
11. Найти особые решения уравнения
'2y= y
. (22)
Решение.
Разделим переменные:
d
d
2
y
x
y
=
.
Проинтегрируем:
yxC
=
+
.
Запишем общее решение уравнения (22):
2
(yxC=+)
. (23)
Продифференцируем обе части этого равенства по параметру
и составим
систему уравнений
C
19

Страницы