Дифференциальные уравнения. Файницкий Ю.Л. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

18. Решить уравнение
.
2
'' 6 12lnxy y x−=
Ответ:
3
2
1
2
1
2ln
3
C
yCx x
x
=
+− +
.
2.3 Уравнение, однородное относительно функции и ее производных
Пусть уравнение
()
( , , ', ... , ) 0
n
Fxy y y
=
однородное относительно искомой функции
и ее производных, то есть
y
() ()
( , , ', ... , ) ( , , ', ... , )
nk n
F x ty ty ty t F x y y y=
, (43)
где
постоянная, .
k −
0t >
С помощью подстановки
'y
z
y
=
порядок уравнения (43) может быть по-
нижен на единицу.
19. Решить уравнение
2
'' ' 2 'xyy xy yy+=
. (44)
Решение.
Если учитывать только функцию
и ее производные и , то каж-
дый член уравнения имеет измерение, равное двум. Следовательно, уравне-
ние (44) – однородное относительно указанных переменных.
y 'y ''y
Будем считать, что
, где
'yy= z
z
−
новая искомая функция. Тогда
2
'' ' ' 'yyzyzyzyz=+=+
.
Подставим эти выражения для производных в уравнение (44):
30

Страницы