Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Последнее неравенство записано с учетом того, что число сомножителей в
произведении
m
(2)(3) nn
+
+ ⋅⋅⋅
равно
(1)mn mn1
−
+=−−
.
Получим соотношение
21
111 1
1+ +
(1)! 2
(2) (2)
mn
mn
xx
nn
nn
−−
⎛⎞
−< + ⋅⋅⋅+
⎜⎟
++
++
⎝⎠
.
Выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию.
Число ее членов равно
mn
−
. Используя формулу для суммы геометриче-
ской прогрессии, найдем:
1
1
1
2
1
(1)!
1
2
mn
mn
n
xx
n
n
−
⎛⎞
−
⎜⎟
+
⎝⎠
−<
+
−
+
,
или
11 2
1
( 1)! ( 1)!( 1)
1
2
mn
n
xx
nn
n
n
+
−< =
+
++
−
+
.
Так как
2
lim 0
(1)!(1)
n
n
nn
→∞
+
=
++
,
то для всякого
0
ε
>
существует
N
такое, что при
nN>
2
(1)!(1)
n
nn
ε
+
<
++
.
Следовательно, когда
n
и
m
, справедливо неравенство
N>
n>
mn
xx
ε
−
<
.
Согласно критерию Коши, последовательность
{
сходится.
}
n
x
18

Страницы