Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

22
n
x = + +⋅⋅⋅+ 2
,
где выражение, определяющее
, содержит символов квадратного корня.
Доказать, что данная последовательность сходится, и найти ее предел.
n
x n
Решение.
Задан итерационный процесс
11
2, 2 , 2, 3, 4, ...
nn
xx xn
−
==+ =
Так как
,
123
n
xx x x< < < ⋅⋅⋅ < < ⋅⋅⋅
то последовательность
{
возрастает.
}
n
x
В то же время
121
22, 2 222xxx=≤ =+≤+≤
.
Если
, то
1
2
n
x
−
≤
1
22
nn
xx
−
22
=
+≤+≤
.
Согласно принципу математической индукции,
2
n
x
≤
( 1, 2, 3, ...)n
=
,
то есть возрастающая последовательность
ограничена сверху. По тео-
реме Вейерштрасса, эта последовательность сходится.
{
n
x }
Обозначим
lim .
n
n
xa
→∞
=
Так как
1
2
nn
xx
−
=+
,
то
1
lim lim 2
nn
nn
xx
−
→∞ →∞
=+
.
Поскольку функция
x
непрерывна,
1
2 lim
nn
nn
xxlim
−
→∞ →∞
=+ ,
25

Страницы