Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

такое положительное число
δ
, что для любых точек таких, что
12
, xx X∈
12
xx
δ
−
< ,
справедливо неравенство
12
() ( )fx fx
ε
−
< .
Сущность равномерной непрерывности заключается в следующем. Пусть
функция
f
непрерывна на некотором промежутке . Тогда для всякого
из этого промежутка и для всякого
X
0
x
0
ε
> можно указать такую
δ
-
окрестность точки
, что для любой точки
0
x xX
∈
из указанной окрестности
0
() ( )fx fx
−
< . (19)
При этом для различных точек
в общем случае получаются различные
значения
0
x
δ
. Если же для функции
f
и данного промежутка существует
единое число
0
δ
> такое, что для любого
0
xX
∈
из неравенства
0
xx
δ
−
<
следует (19), то функция
f
считается равномерно непрерывной на рассмат-
риваемом промежутке.
Согласно определению равномерной непрерывности, функция
f
не яв-
ляется равномерно непрерывной на множестве
, если можно указать X ⊂
0
ε
> такое, что для любого
0
δ
>
можно найти , для которых
выполняются неравенства
12
, xx X∈
12
xx
δ
−
<
и
12
() ( )fx fx
ε
−
≥ .
Теорема (Кантора). Если функция
f
непрерывна на отрезке , то
она равномерно непрерывна на этом отрезке [4, т. I, гл. IV, § 2].
[
, ab
]
Доказать, что функция
f
равномерно непрерывна на указанном множест-
ве (задачи 25 – 28):
25.
.
[]
2
() , 0, 1fx x x=∈
28

Страницы