Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Решение.
Функция
f
непрерывна на отрезке
[
]
0, 1 . Согласно теореме Кантора,
f
равномерно непрерывна на этом отрезке.
26.
2
13
( ) , ,
44
sin
fx x
x
π
π
⎡
⎤
=∈
⎢
⎥
⎣
⎦
.
27.
sin
( ) , (0, 1)
x
fx x
x
=∈
.
Решение.
Рассмотрим функцию
sin
, если (0, 1],
()
1, если 0.
x
x
Fx
x
x
⎧
∈
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
На промежутке
она совпадает с функцией, заданной выражением
(0 ,1]
sin x
x
.
Последняя непрерывна на указанном промежутке. Поэтому
также непре-
рывна на множестве
(
.
F
0 ,1]
Вычислим
00
sin
lim ( ) lim 1
x
x
x
Fx
x
→→
=
= .
Следовательно,
0
lim ( ) (0)
x
Fx F
→
=
,
то есть функция
непрерывна в точке F
0x
.
Так как
непрерывна на промежутке и в точке , то эта
функция непрерывна на отрезке
F (0 ,1]
0x =
[
]
0, 1 . Следовательно, она равномерно не-
прерывна на этом отрезке.
При этом функция
равномерно непрерывна на всяком подмножестве
данного отрезка, в частности на интервале
. На этом интервале сов-
падает с функцией
F
(0, 1) F
f
. Значит,
f
равномерно непрерывна на указанном ин-
29

Страницы