Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

дифференцируема на всей числовой оси и исследовать непрерывность произ-
водной этой функции.
Решение.
Производную в начале координат найдем по определению:
0
(0 ) (0)
'(0) lim
x
fxf
f
x
∆
→
+
∆−
=
=
∆
2
00
1
()sin 0
1
lim lim sin
x
x
x
x
x
xx
∆→ ∆→
∆⋅ −
∆
==∆⋅
∆
∆
.
Так как
1
sin 1
x
≤
∆
,
то есть функция
1
sin
x∆
ограничена, то
'(0) 0
=
.
В остальных точках производная вычисляется по обычным формулам
дифференцирования элементарных функций:
22
2
'
111
sin 2 sin cosxxx
xxx
x
⎛⎞
⎛⎞
=+⋅−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
1
.
Поэтому
11
2sin cos , если 0,
'( )
0, если 0.
xx
fx
xx
x
⎧
−
≠
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
Таким образом, функция
f
дифференцируема на всей числовой оси.
При
производная
0x ≠
'( )
f
x совпадает с элементарной функцией
11
2sin cosyx
xx
=−
,
определенной и поэтому непрерывной при указанном условии. Следователь-
но,
'( )
f
x непрерывна при
0x
≠
.
37

Страницы