Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

41. Найти
, если
(15)
y
inx
++
2
(1)syxx=++ .
Решение.
По формуле Лейбница,
(15) 0 (15) 2 1 (14) 2
15 15
2(13)2
15
(sin ) ( 1) (sin ) ( 1) '
+ (sin ) ( 1) ''.
yCx xx Cx xx
Cx xx
=⋅+++⋅+
⋅++
(23)
Остальные слагаемые формулы Лейбница в данном случае равны нулю.
Вычислим производные от функции
sin : x
(sin ) ' cos sin
2
xxx
π
⎛⎞
== +
⎜⎟
⎝⎠
,
(sin )'' sin sin 2
2
xxx
π
⎛⎞
=
−= +⋅
⎜⎟
⎝⎠
,
(sin ) ''' cos sin 3
2
xxx
π
⎛⎞
=
−= +⋅
⎜⎟
⎝⎠
,
(4)
(sin ) cos sin 4
2
xxx
π
⎛⎞
=
=+⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Пусть
()
(sin ) sin
2
k
xxk
π
⎛⎞
+⋅
⎜⎟
⎝⎠
.
Тогда
(1)
(sin ) cos sin
22
k
xxkxk
2
π
ππ
+
⎛⎞⎛
=+⋅=+⋅+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎠
,
то есть
(1)
(sin ) sin ( 1)
2
k
xxk
π
+
⎛⎞
=++
⎜⎟
⎝⎠
.
Согласно принципу математической индукции,
39

Страницы