Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Чтобы проверить непрерывность производной в начале координат, рас-
смотрим ее односторонние пределы в этой точке. Вычислим предел справа:
00
11
lim '( ) lim 2 sin cos
xx
fx x
xx
→+ →+
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Первое слагаемое в скобках стремится к нулю, второе не имеет предела.
Поэтому
0
lim '( )
x
f
x
→+
не существует. Аналогично, в точке не сущест-
вует предел производной слева. Следовательно, для функции
0x =
'( )
f
x точка
является точкой разрыва второго рода, что согласуется с теоремой,
приведенной в начале данного параграфа.
0x =
40. Выяснить, дифференцируема ли функция
3
1
sin , если 0,
()
0, если 0
xx
fx
x
x
⎧
≠
⎪
=
⎨
⎪
=
⎩
на всей числовой оси. Есть ли у производной этой функции точки разрыва?
Ответ: Да, нет.
2.4 Формула Лейбница
Теорема. Если функции
и имеют в некоторой точке произ-
водные порядка
, то в этой точке
()ux ()vx
n
() ( )()
0
()
n
nknk
n
k
uv C u v
−
k
=
=
∑
,
где
, .
(0)
uu=
(0)
vv=
Это соотношение называется формулой Лейбница. Формально она полу-
чится, если разложить выражение по формуле Ньютона и затем
показатели степени величин
и
v
заключить в скобки, превратив их в
символы порядка производных. Кроме того, при этом следует считать, что
первый и последний члены указанного разложения записаны в виде
и
.
(
n
uv+ )
u
0n
uv
0 n
uv
Формула Лейбница может быть доказана методом математической индук-
ции [7, гл. I, § 10, п. 10.2].
38

Страницы