Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

кие два вектора
и , что
12
( , , ... , )
n
xx x
12
( , , ... , )
n
yy y
12
( , , ... , ) 0
n
Kx x x > , .
12
( , , ... , ) 0
n
Ky y y <
Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма
(36) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все
угловые миноры матрицы этой формы были положительны, то есть
11
0a > ,
11 12
21 22
0
aa
aa
>
,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
>
0
, … ,
11 12 1
21 22 2
12
...
...
0
.........................
...
n
n
nn nn
aa a
aa a
aa a
>
.
Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необ-
ходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
и знаки угло-
вых миноров чередовались [5, гл. 7, § 4, п. 3].
11
0a <
Теорема. Пусть функция
имеет непрерывные част-
ные производные второго порядка в некоторой окрестности точки
:,
n
fD D→⊂

01 2
( , , ... , )
n
M
aa a
и
0
M
−
стационарная точка функции
f
. Если при
этом квадратичная форма
2
2
0
12 0
11
()
(d , d , ... , d ) d ( ) d d
nn
ni
ij
ij
fM
j
K
xx x fM xx
xx
==
∂
==
∂∂
∑∑
положительно определенная, то
0
M
−
точка минимума функции
f
; если
отрицательно определенная, то это
−
точка максимума. Если указанная квад-
ратичная форма знакопеременная, то в точке
0
M
экстремума нет [8, гл. 4,
§ 40, п. 40.2].
Таким образом, здесь полный дифференциал второго порядка
2
d
f
, вы-
численный в стационарной точке
0
M
, рассматривается как квадратичная
форма относительно переменных
d ( 1, 2, ... , )
i
xi n
.
55. Исследовать на экстремум функцию
2
22u x xy xz y y z=−+−++
32
. (37)
55

Страницы