Пределы и производные. Файницкий Ю.Л. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Функции
f
,
1
, ... ,
m
ϕ
ϕ
имеют непрерывные частные производные
второго порядка в данной окрестности.
Составлена функция Лагранжа
11 2 2
...
mm
Lf
λ
ϕλϕ λϕ
=+ + + +
,
записаны необходимые условия ее экстремума и найдена критическая точка
этой функции
00 0
12 1 2
( , , ... , , , , ... , )
nm
aa a
λ
λλ
.
Пусть все эти предположения выполнены. Зафиксируем в функции Ла-
гранжа
12 12
( , , ... , , , , ... , )
nm
LLxx x
λ
λλ
=
множители
i
λ
, считая , что
0
ii
λ
λ
=
( 1, 2, ... , )im
. Получим функцию
00 0
11 2 1 2 1 2
( , , ... , ) ( , , ... , , , , ... , )
nn
Lx x x Lx x x
m
λ
λλ
=
.
Составим квадратичную форму
2
12 10
(d , d , ... , d ) d ( )
n
K
xx x LM=
, (40)
где
0
M
имеет координаты .
12
( , , ... , )
n
aa a
Переменные
в точке условного экстремума удовлетворяют
уравнениям связи (39). Поэтому дифференциалы этих переменных связаны
между собой соотношениями
12
, , ... ,
n
xx x
11
1
1
1
1
d ... d 0,
............................................
d ... d
n
n
mm
n
n
xx
xx
xx
xx
0.
ϕ
ϕ
ϕϕ
∂
∂
⎧
++ =
⎪
∂∂
⎪
⎪
⎨
⎪
∂∂
+
+=
⎪
∂∂
⎪
⎩
(41)
Это система линейных уравнений относительно переменных
. Так как ранг матрицы этой системы равен , то, ре-
шив систему (41),
величин можно выразить через остальные
d
i
x ( 1, 2, ... , )i= n
m
m d
i
x nm
−
дифференциалов. Если найденные таким путем выражения подставить в
, то получится квадратичная форма (40) с учетом уравнений связи
2
10
d(LM)
60

Страницы