Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4
Практическое занятие №1.
Определение математического ожидания, дисперсии,
корреляционной функции
Теоретические сведения
Пусть
)(
t
ϕ – неслучайная функция, )(
t
X , )(
t
Y
– независимые слу-
чайные функции.
Свойства математического ожидания:
1)
).()]([
t
t
M
ϕ
=
ϕ
2)
).()()]()([ tmttXtM
x
⋅
ϕ=
⋅
ϕ
3)
).()()]()([ tmtmtYtXM
yx
+
=+
4)
).()()]()([ tmtmtYtXM
yx
⋅
=⋅
Пусть )(
t
ϕ – неслучайная функция, )(
t
X , )(
t
Y
– независимые слу-
чайные функции, тогда дисперсия случайно величины )(
t
X :
.)]([})]()({[)]([
22
tXMtmtXMtXD
x
o
=−=
Свойства дисперсии:
1)
.0)]([
=
ϕ
D
2)
).()()]()([
2
tDttXtD
x
⋅ϕ=⋅ϕ
3)
).()()]()([ tDtDtYtXD
yx
+
=+
4)
.0)]([ ≥
t
X
D
Пусть )(
t
ϕ – неслучайная функция, )(
t
X – случайная функция.
Корреляционной функцией называется математическое ожидание
произведения значений случайной функции )(
t
X для двух моментов вре-
мени
21
,tt :
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
⋅⋅=⋅= .),;,()]()([),(
212121212121
dxdxttxxfxxtXtXMttK
x
Свойства корреляционной функции:
1.
).,(),(
1221
ttKttK
xx
=
Для стационарных процессов ),()(
τ
−
=
τ
xx
KK где .
21
tt −=τ
2.
).(),( tDttK
xx
=
3. Пусть
),()()(
t
X
t
t
Y
⋅ϕ=
тогда
).,()()(),(
212121
ttKttttK
xy
⋅
ϕ
⋅
ϕ
=
4. Пусть
),()()(
X
Y
+ϕ=
тогда
).,(),(
2121
ttKttK
xy
=
5. Пусть
),()()(
t
Y
t
X
t
Z
+
=
тогда
).,(),(),(),(),(
2121212121
ttKttKttKttKttK
yxxyyxz
+
+
+
=
                     Практическое занятие №1.
          Определение математического ожидания, дисперсии,
                      корреляционной функции

                                 Теоретические сведения

       Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) , Y (t ) – независимые слу-
чайные функции.
     Свойства математического ожидания:
     1) M [ϕ(t )] = ϕ(t ).
     2) M [ϕ(t ) ⋅ X (t )] = ϕ(t ) ⋅ mx (t ).
     3) M [ X (t ) + Y (t )] = m x (t ) + m y (t ).
     4) M [ X (t ) ⋅ Y (t )] = m x (t ) ⋅ m y (t ).
     Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) , Y (t ) – независимые слу-
чайные функции, тогда дисперсия случайно величины X (t ) :
                                                                                 o
                           D[ X (t )] = M{[ X (t ) −m x (t )]2 } = M [ X (t )]2 .

     Свойства дисперсии:
     1) D[ϕ(t )] = 0.
                             2
     2) D[ϕ(t ) ⋅ X (t )] = ϕ (t ) ⋅ Dx (t ).
     3) D[ X (t ) + Y (t )] = D x (t ) + D y (t ).
     4) D[ X (t )] ≥ 0.
     Пусть ϕ(t ) – неслучайная функция, X (t ) – случайная функция.
     Корреляционной функцией называется математическое ожидание
произведения значений случайной функции X (t ) для двух моментов вре-
мени t1 ,t 2 :
                                                   ∞ ∞
      K x (t1 , t 2 ) = M [ X (t1 ) ⋅ X (t 2 )] = ∫ ∫ x1 ⋅ x2 ⋅ f ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )dx1dx2 .
                                                  −∞ −∞

     Свойства корреляционной функции:
     1. K x (t1 , t 2 ) = K x (t 2 , t1 ).
     Для стационарных процессов K x (τ) = K x (−τ), где τ = t1 − t 2 .
     2. K x (t , t ) = Dx (t ).
     3. Пусть Y (t ) = ϕ(t ) ⋅ X (t ), тогда K y (t1 , t 2 ) = ϕ(t1 ) ⋅ ϕ(t 2 ) ⋅ K x (t1 , t 2 ).
     4. Пусть Y (t ) = ϕ(t ) + X (t ), тогда K y (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t 2 ).
     5. Пусть Z (t ) = X (t ) + Y (t ), тогда
              K z (t1 , t 2 ) = K x (t1 , t 2 ) + K y (t1 , t 2 ) + K xy (t1 , t 2 ) + K yx (t1 , t 2 ).


                                                                                                           4

Страницы