Теоретические основы автоматизированного управления. Файзрахманов Р.А - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

5
6. Пусть
),()()()()(
t
Y
t
b
t
X
t
a
t
Z
⋅
+
⋅
=
где )(),(
t
b
t
a – неслучайные,
тогда
).,()()(),()()(
),()()(),()()(),(
21212121
2121212121
ttKtatbttKtbta
ttKtbtbttKtatattK
yxxy
yxz
⋅⋅+⋅⋅+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Решение типовых задач
Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения
двух функций
t
e
t
⋅α
⋅sin , где .cons
t
=
α
Решение. Используем первое свойство математического ожидания,
так как обе функции неслучайные .sin][sin
tt
etetM
αα
⋅=⋅⇒
Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-
ражения
),cos()sin()cos( ttet
t
⋅β⋅⋅α+⋅⋅α
⋅β
где ., cons
t
=
β
α
Решение. Сначала используем третье свойство математического
ожидания:
)].cos()[sin(])[cos(
)]cos()sin()[cos(
ttMetM
ttetM
t
t
⋅β⋅⋅α+⋅⋅α=
=⋅β⋅⋅α+⋅⋅α
⋅β
⋅β
Затем применим первое свойство математического ожидания
).cos()sin()cos(
)]cos()[sin(])[cos(
ttet
ttMetM
t
t
⋅β⋅⋅α+⋅⋅α=
=⋅β⋅⋅α+⋅⋅α
⋅β
⋅β
Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:
..1)sin()cos( cons
t
t
t
t
=
β
+
+
⋅
β
+
⋅
β
Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четы-
ре слагаемых данного выражения неслучайные функции:
.0]1)sin()[cos(
=
+
+
⋅
β
+
⋅
β
t
t
t
D
Задача 1.4. Определить корреляционную функцию
),(
21
ttK
z
.
).(
)cos(
1
)()sin()( tY
tw
tXtwtZ
⋅
+⋅=
Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреля-
ционной функции:
),(
)cos(
)sin(
),(
)cos(
)sin(
)cos()cos(
),(
),()sin()sin(),(
21
1
2
21
2
1
21
21
212121
ttK
tw
tw
ttK
tw
tw
twtw
ttK
ttKtwtwttK
yxxy
y
xz
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
+
⋅⋅
+⋅⋅=
        6. Пусть Z (t ) = a (t ) ⋅ X (t ) + b(t ) ⋅ Y (t ), где a (t ), b(t ) – неслучайные,
тогда
                 K z (t1 , t 2 ) = a (t1 ) ⋅ a(t 2 ) ⋅ K x (t1 , t 2 ) + b(t1 ) ⋅ b(t 2 ) ⋅ K y (t1 , t 2 )
                 + a(t1 ) ⋅ b(t 2 ) ⋅ K xy (t1 , t 2 ) + b(t1 ) ⋅ a(t 2 ) ⋅ K yx (t1 , t 2 ).

                                          Решение типовых задач

      Задача 1.1. Определить математическое ожидание произведения
двух функций sin t ⋅ e α⋅t , где α = const.
      Решение. Используем первое свойство математического ожидания,
так как обе функции неслучайные ⇒ M [sin t ⋅ e αt ] = sin t ⋅ e αt .
      Задача 1.2. Определить математическое ожидания следующего вы-
ражения cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t ), где α, β = const.
      Решение. Сначала используем третье свойство математического
ожидания:
                       M [cos(α ⋅ t ) ⋅ e β⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )] =
                             = M [cos(α ⋅ t ) ⋅ e β⋅t ] + M [sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )].
        Затем применим первое свойство математического ожидания
                             M [cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t ] + M [sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t )] =
                             = cos(α ⋅ t ) ⋅ eβ⋅t + sin(α ⋅ t ) ⋅ cos(β ⋅ t ).
        Задача 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:
                                   cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1. β = const.
      Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четы-
ре слагаемых данного выражения неслучайные функции:
                        D [cos(β ⋅ t ) + sin(β ⋅ t ) + t + 1] = 0.
        Задача 1.4. Определить корреляционную функцию K z (t1 , t 2 ) .
                                                                         1
                                   Z (t ) = sin( w ⋅ t ) X (t ) +                 Y (t ).
                                                                     cos( w ⋅ t )
     Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреля-
ционной функции:
                                                                                       K y (t1 , t 2 )
             K z (t1 , t 2 ) = sin( w ⋅ t1 ) sin( w ⋅ t 2 ) K x (t1 , t 2 ) +                                  +
                                                                                cos( w ⋅ t1 ) cos( w ⋅ t 2 )
                 sin( w ⋅ t1 )                     sin( w ⋅ t 2 )
             +                  K xy (t1 , t 2 ) +                K yx (t1 , t 2 )
                 cos( w ⋅ t 2 )                    cos( w ⋅ t1 )



                                                                                                                   5

Страницы