Автоматизация управления в производственных системах. Федотов А.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГТУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

44
)t,x,y...y,y,y(Fy
nn 3211
.
При x(t)=0 эта система будет описывать свободный процесс в системе (про-
цесс при отсутствии внешних воздействий). Переменные
n
y,...,y,y
21
можно рас-
сматривать как координаты n-мерного пространства, в котором описывается состоя-
ние системы. Это пространство называется фазовым пространством системы, а ко-
ординаты y
i
– фазовыми координатами системы.
Состояние системы в каждый момент времени можно отобразить в фазовом
пространстве точкой с координатами, равными соответствующим фазовым коорди-
натам системы. Такая точка называется изображающей точкой. Если в системе про-
исходит процесс, то ее фазовые координаты изменяются и изображающая точка
движется в фазовом пространстве. Траектория движения изображающей точки в фа-
зовом пространстве системы называется фазовой траекторией системы. Фазовая
траектория системы отображает особенности процесса в системе.
Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше
системы уравнений, если из них исключить время t. Уравнение фазовой траектории
есть дифференциальное уравнение, но его порядок ниже порядка дифференциально-
го уравнения процесса в системе.
Пусть, например, дифференциальное уравнение свободного процесса системы
второго порядка имеет вид
0
2
2
)t(cy
dt
dy
a
dt
yd
.
Введём фазовые координаты
)t(yy
1
,
dt
dy
y
2
, тогда дифференциальное
уравнение преобразуется в
систему уравнений
2
1
y
dt
dy
,
12
2
cyay
dt
dy
.
Исключим время, раз-
делив второе уравнение си-
стемы на первое, в результате
чего получим уравнение фа-
зовой траектории
2
1
1
2
y
y
ca
dy
dy
.
В итоге система второ-
го порядка описана фазовой
траекторией, имеющей дифференциальное уравнение первого порядка. Пример фа-
зовой траектории для описанной системы показан на рис. 2.25. Фазовая траектория в
виде сходящейся спирали соответствует колебательному затухающему процессу в 
      yn  F1( y1 , y2 , y3 ...yn , x ,t ) .
      При x(t)=0 эта система будет описывать свободный процесс в системе (про-
цесс при отсутствии внешних воздействий). Переменные y1 , y2 ,...,yn можно рас-
сматривать как координаты n-мерного пространства, в котором описывается состоя-
ние системы. Это пространство называется фазовым пространством системы, а ко-
ординаты yi – фазовыми координатами системы.
      Состояние системы в каждый момент времени можно отобразить в фазовом
пространстве точкой с координатами, равными соответствующим фазовым коорди-
натам системы. Такая точка называется изображающей точкой. Если в системе про-
исходит процесс, то ее фазовые координаты изменяются и изображающая точка
движется в фазовом пространстве. Траектория движения изображающей точки в фа-
зовом пространстве системы называется фазовой траекторией системы. Фазовая
траектория системы отображает особенности процесса в системе.
      Уравнение фазовой траектории может быть получено из приведенной выше
системы уравнений, если из них исключить время t. Уравнение фазовой траектории
есть дифференциальное уравнение, но его порядок ниже порядка дифференциально-
го уравнения процесса в системе.
      Пусть, например, дифференциальное уравнение свободного процесса системы
второго порядка имеет вид
      d2y         dy
             a       cy( t )  0 .
      dt 2        dt
                                                   dy
     Введём фазовые координаты y1  y( t ) , y2      , тогда дифференциальное
                                                   dt
                                                   уравнение преобразуется в
                                                   систему уравнений
                                                    dy1
                                                         y2 ,
                                                     dt
                                                    dy2
                                                         ay2  cy1 .
                                                     dt
                                                          Исключим время, раз-
                                                   делив второе уравнение си-
                                                   стемы на первое, в результате
                                                   чего получим уравнение фа-
                                                   зовой траектории
                                                          dy2          y
                                                                a  c 1 .
                                                          dy1          y2
       Рис. 2.25. Фазовая траектория системы              В итоге система второ-
                                                   го порядка описана фазовой
траекторией, имеющей дифференциальное уравнение первого порядка. Пример фа-
зовой траектории для описанной системы показан на рис. 2.25. Фазовая траектория в
виде сходящейся спирали соответствует колебательному затухающему процессу в


                                       44

Страницы