Практикум по высшей математике с основами математической статистики. Фетисов Ю.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
.
1234
2105
,
4
2
1
0
1
3
4
3
−
−−
=
−
−
= BA
3. Найти общее решение системы:
=−++−
−=+++
=
+
−
+
.35623
,2342
,1262
tzyx
tzyx
tzyx
Векторная алгебра
Пример 4. Дана пирамида ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ).
Найти : 1) угол BCD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды.
Решение .
1) Найдем координаты векторов
CB
и
CD
, образующих угол
BCD
:
(
)
(
)
()()
.1;2;4)23;31;15(
,25;2)20;32;13(
=−−−−−==
−=−−−−==
CDb
CBa
Угол BCD найдем по формуле :
ba
ba
⋅
⋅
= ϕcos
, где
b
a
⋅
-скалярное произве -
дение векторов
a
и
b
. Таким образом,
(
)
()
.65,0arccos ьно ,Следовател
.65,0
14164254
2108
2
1
2
2
2
4
2
2
2
5
2
2
122542
cos
=∠
≈
++⋅++
−
+
=
++⋅−++
⋅
−
+
⋅
+
⋅
=∠
BCD
BCD
2) Площадь грани ABC находим по формуле :
BCAB
ABC
S ×⋅=
∆
2
1
, где
AB
×
- векторное произведение векторов
AB
и
.
(
)
(
)
(
)
.1;2;110;42;23 −=−−−−= AB
(
)
(
)
.2;5;202;23;31 −−=−−−−= BC
(
)
.
2
ед95,481161
2
1
2
)9(
2
)4(
2
1
2
1
ьно ,Следовател
.94
52
21
22
11
25
12
252
121
≈++⋅=−+−+⋅=
∆
−−=
−−
−
⋅+
−
⋅−
−
−
⋅=
−−
−=×
ABC
S
kjikji
kji
BCAB
3) Объем пирамиды находим по формуле :
ADACABV ⋅⋅⋅=
6
1
, где
AD
AC
AB
⋅⋅ -смешанное произведение векторов
(
)
,;;AB 121 −= 
            �    3   0   �
            �            �
       �        −4   1   �        � −5 0 −1 2 �
   A =�                  �   , B = ��            �� .
                 3   2                � 4 3 −2 1   �
         ��              � �
            �   −1   4   �
                                       x +2 y −6 z +2t =1,
                                                    �
                                                    �
   3. Найти общее решение системы: � 2 x +4 y +z +3t =−2,
                                    � −3 x +2 y +6 z −5t =3.
                                     �

                                         Векторная алгебра

   Пример 4. Дана пирамида ABCD: A( 2; 4;-1 ), B( 3; 2; 0 ), C( 1;-3; 2 ), D( 5;-1; 3 ).
Найти: 1) угол BCD; 2) площадь грани ABC; 3) объем пирамиды.
   Решение.
1) Найдем координаты векторов CB и CD , образующих угол BCD :

   a =CB =( 3 −1; 2 −(−3); 0 −2 ) =( 2; 5 −2 ),
  b =CD =( 5 −1; −1 −(−3); 3 −2 ) =( 4; 2; 1 ).
                                          a ⋅b
Угол BCD найдем по формуле: cos ϕ =             , где a ⋅ b -скалярное произве-
                                         a ⋅b
дение векторов a и b . Таким образом,
                 2 ⋅ 4 +5 ⋅ 2 +(−2 )⋅1           8 +10 −2
cos ∠BCD =                                 =                     ≈0,65.
                            2
            2 +5 +(−2 ) ⋅ 4 +2 +1
              2  2               2     2 2   4 +25 +4 ⋅ 16 +4 +1
Следовательно, ∠BCD =arccos 0,65.
2) Площадь грани ABC находим по формуле:
            1
   S ∆ABC = ⋅ AB ×BC , где AB ×BC - векторное произведение векторов AB
            2
и BC .
AB =( 3 −2; 2 −4; 0 −(−1)) =(1; −2; 1 ). BC =(1 −3; −3 −2; 2 −0 ) =(−2; −5; 2 ).

         i  j k
                     −2 1       1 1       1 −2
AB ×BC = 1 −2 1 =i ⋅      −j ⋅      +k ⋅       = i −4 j −9k .
                     −5 2      −2 2      −2 −5
        −2 −5 2
                        1                       1
Следовательно, S ∆ABC = ⋅ 12 +(−4) 2 +(−9) 2 = ⋅ 1 +16 +81 ≈4,95 ед 2 .
                        2                       2
                                                                             ( )
                                              1
3) Объем пирамиды находим по формуле: V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , где
                                              6
AB ⋅ AC ⋅ AD -смешанное произведение векторов AB =( 1; −2; 1 ),


                                                        8

Страницы