ВУЗ:
Составители:
37
дится следующее приближенное значение. Итерационный процесс пре-
кращается, когда достигается заданная точность:
()
(
)
0.
nn
fx fx
−
ε⋅ +ε<
(3.2.1.1)
Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рас-
смотрим несколько итерационных процедур.
3.2.2. Метод простых итераций для решения нелинейных и
трансцендентных уравнений
Уравнение
()
0fx=
преобразуется к виду
(
)
.
x
x
=ϕ
(3.2.2.1)
Если выполняется условие
(
)
1x
′
ϕ
<
, (3.2.2.2)
то итерационный процесс
(
)
1kk
x
x
+
=
ϕ
(3.2.2.3)
сходится к точному значению. Действительно,
(
)
(
)
11kk k k
xx x x
+−
−=ϕ −ϕ
,
из теоремы о среднем следует оценка
111kk kk
xxMxx
+−
−
≤−
,
т.е. расстояние между точками последовательности уменьшается, если
1
1M
<
,
где
1
max
M
q
′
=ϕ=
– знаменатель сходимости. По теореме о непод-
вижной точке в этом случае существует предел – решение уравнения.
Начальная точка x
0
– любая точка интервала
[
]
,ab
локализации корня.
Знаменатель сходимости зависит от вида
(
)
x
ϕ
. Уравнение
(
)
0fx
=
может быть преобразовано к итерационному виду (3.2.2.1) множеством
различных способов – модификаций одношагового стационарного ме-
тода простой итерации, выбором которых можно добиться минимума
знаменателя сходимости.
Например, дано уравнение
(
)
x
xfx
=
−λ
.
Достаточное условие сходимости (3.2.2.2) выполняется, если
1
2
M
λ<
,
где
1
maxM
′
=ϕ
,
[
]
,
x
ab∈
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
