ВУЗ:
Составители:
40
()
(
)
()
1
n
nnn
n
f
x
xxx
f
x
+
=ϕ = −
′
. (3.2.3.1)
Выражение для начальной точки x
0
совпадает с условием непод-
вижной точки:
(
)
()
, если 0;
, если 0.
afa
c
bfb
′′
>
⎧
⎪
=
⎨
′′
>
⎪
⎩
. (3.2.3.2)
Метод Ньютона можно считать модификацией метода простой
итерации при
()
(
)
()
f
x
xx
f
x
ϕ=−
′
. Условия сходимости метода следуют из
(3.2.2.2), а именно, для всех x из области локализации корня должно вы-
полняться условие
(
)
(
)
()
2
1
fxf x
qx
fx
′
′
=
−<
′
⎡⎤
⎣⎦
, (3.2.3.3)
из которого следует: чем меньше область локализации корня, тем
меньше знаменатель q сходимости метода Ньютона и в пределе
0q →
при
x
x
∗
→
. Таким образом, при достаточно малой области локализации
корня, метод Ньютона имеет безусловную сходимость.
Решением нелинейного уравнения
(
)
0fx
=
(3.2.3.4)
является точка пересечения функции (3.2.3.4) с осью абсцисс (рис.
3.2.3.1).
Выберем в качестве начального приближения правую границу ин-
тервала [a, b], т.е.
0
x
b= . Проведем касательную к функции
()
f
x
в точ-
ке
0
B
. Пересечение этой касательной с осью абсцисс дает первое при-
ближение
1
x
корня
x
∗
. Проведя касательную к функции в точке
1
B
,
найдем второе приближение
2
x
решения и т.д.
Выберем в качестве начального приближения левую границу ин-
тервала [a, b] (
0
x
a= ). Точка пересечения касательной к функции
(
)
f
x
в точке
0
A
с осью абсцисс находится за пределами интервала [a, b]. При
таком начальном приближении решение найти нельзя (процесс расхо-
дится или стремится к другому решению).
Условие сходимости при начальном приближении
0
x
:
(
)
(
)
00
0fx f x
′
′
⋅
>
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
