ВУЗ:
Составители:
43
3.2.4. Условие выхода из вычислительного процесса
в методах простой итерации и Гаусса
Формула (3.2.1.1) выхода из процесса итераций не всегда пригод-
на для практического использования. Она, например, не выполняется,
если функция имеет корень в точке локального минимума. Кроме того,
если алгоритм вычисления функции является плохо обусловленным,
относительная ошибка результата вычисления функции возле её корня
может значительно превосходить желаемую точность определения кор-
ня. В этом
случае критерий (3.2.1.1) не обеспечивает остановку итера-
ционного процесса при достижении заданной величины ε. В тех мето-
дах, где выбор текущего интервала основан на вычислении знакопере-
менности функции на его концах, применение другого критерия не
уменьшает уже возникшую в такой ситуации ошибку, а приводит лишь
к выходу из процесса итераций.
Покажем
практический способ выхода из процесса итераций, га-
рантирующий достижение заданной точности вычислений в общем слу-
чае простой итерации со знаменателем q . Считается, что корень на n-ой
итерации вычислен с точностью ε, если
n
x
∗
Δ
≤ε. Контролю же в про-
цессе вычислений поддаётся величина
n
x
Δ
. Установив связь между
этими величинами, мы получим возможность проводить вычисления с
заданной точностью. Заметим, что
nk n n
xx x
∗
+
−
→Δ ≤ε
при k →∞.
Далее, учитывая неравенство треугольника и неравенство
(
)
(
)
11nnn n
x
xxqx
+−
Δ=ϕ−ϕ ≤Δ
, запишем:
1
11 1
kk
nk n nk nk n n n
xxx x xqxqx
−
+++−+ −
−≤Δ +Δ ++Δ≤Δ+Δ+LL
()
(
)
1
1
1
1
k
k
nnn
qq
qx q q q x x
q
−
−
+Δ = + + + Δ = Δ
−
LL
.
При
k →∞ получим
1
n
n
q
x
x
q
∗
Δ
=Δ
−
.
Таким образом, требование
1
n
q
x
q
−
Δ
≤ε
(3.2.4.1)
обеспечивает заданную точность вычислений ε.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
