Математическое моделирование в высоковольтной электротехнике. Фикс Н.П. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

45
решения. Совместная система, имеющая единственное решение, назы-
вается определённой, имеющая более одного решения – неопределённой.
Если определитель квадратной матрицы
A неоднородной системы
(3.3.1.1) n уравнений с n неизвестными не равен нулю (матрица
A не-
особенная), то СЛАУ имеет единственное решение. Ниже будем пола-
гать, что это условие выполняется.
Предположим, что в системе (3.3.1.1)
nm>
и она имеет бесчис-
ленное множество решений. Выделим m базисных неизвестных, напри-
мер, m первых неизвестных
123 1
,,,, ,
mm
x
xx x x
−
K . Все остальные неиз-
вестные
12
,,,
mm n
x
xx
++
K называются свободными. Базисные неизвест-
ные со своими коэффициентами оставляют в левой части равенства,
свободные неизвестные со своими коэффициентами переносятся в пра-
вую часть равенства с обратным знаком:
11 1 12 2 1 1 1 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2 1 1 2
11 2 2 1 1
,
,
.
mm m m nn
mm m m nn
m m mm m m mm m mn n
ax ax a x b a x ax
ax ax a x b a x ax
ax a x a x b a x a x
++
++
++
+++ =− −−
⎧
⎪
+++ =− −−
⎪
⎨
⎪
⎪
+++ =− −−
⎩
LL
LL
L
LL
.
Но отличие определителя матрицы
A от нуля не гарантирует, что
решение СЛАУ будет найдено численно с заданной точностью. Причи-
ной этого может быть плохая обусловленность, как самой системы, так
и выбранного алгоритма. Заметим, что близость определителя к нулю и
даже весьма малое его значение не свидетельствуют, вообще говоря, о
плохой обусловленности системы. В качестве примера
можно привести
матрицу системы, в которой присутствует только главная диагональ с
весьма малыми, но отличными от нуля коэффициентами. Определитель
такой матрицы может равняться нулю, в то же время свойства такой
матрицы близки к свойствам единичной матрицы, а ошибка в решении
имеет порядок ошибки исходных данных.
Для плохо обусловленных задач их решение
нельзя получить со-
вершенно точно. Для них малые изменения в исходных данных (коэф-
фициентах матрицы и в векторе правой части), которые могут нахо-
диться в пределах точности их задания, приводят к несоразмерно боль-
шим изменениям в решении. В результате, в пределах точности задания
исходных данных (например, в пределах ошибки округления
вследствие
ограниченного формата числовых данных ЭВМ) может существовать
множество различных решений, удовлетворяющих системе.
В качестве примера плохо обусловленной системы можно привес-
ти СЛАУ с почти линейно зависимыми строками (столбцами) в матри-

Страницы