Математическое моделирование в высоковольтной электротехнике. Фикс Н.П. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

46
це. Плохо обусловленным алгоритмом для решения СЛАУ можно на-
звать метод Гаусса без выбора главного элемента.
Для характеристики обусловленности задачи вводят так называе-
мое число обусловленности K. Для задачи решения СЛАУ в качестве
числа обусловленности можно принять
1
K
−
=⋅AA
.
Здесь ||
A|| – какая-либо норма в пространстве n -мерных векторов,
которая выражается через норму вектора следующим образом:
01
max max
xx
x
x
x
≠=
⋅
==⋅
A
AA
rr
r
r
r
.
Норма матрицы характеризует максимально возможное относи-
тельное увеличение по норме ненулевого вектора при воздействии на
него матрицы.
Пусть решение
X СЛАУ получено с относительной ошибкой
x
δ
r
.
Тогда для нее справедлива оценка:
маш
xK
δ
≤ε
.
Здесь ε
маш
(машинная константа) – наименьшее число, которое
при прибавлении к единице еще изменяет её значение в машинном
представлении. Отметим, что оценка справедлива для малых ошибок в
заданной матрице (K ||Δ
A||/||A||<1).
Невязка решения
hxb
=
⋅−A
r
r
r
.
Заметим, что малая величина невязки
hx
<
ε
r
r
, 1
ε
не гаранти-
рует малой величины ошибки
x
Δ
r
в решении. Так, для невязки выпол-
няется соотношение
маш
hx≤⋅εA
,
в то время как для
x
Δ
r
справедливо неравенство
1
x
h
−
≤
⋅A
r
r
.
Норма обратной матрицы для плохо обусловленной СЛАУ вели-
ка, также как и число обусловленности K , характеризующее в этом слу-
чае близость матрицы к вырожденной (сингулярной), для которой
1−
→∞A
.
Существуют два основных класса методов решения СЛАУ – пря-
мые и итерационные. Прямые методы характеризуются тем, что при ги-
потетической абсолютной точности вычислений точное решение СЛАУ

Страницы