Математическое моделирование в высоковольтной электротехнике. Фикс Н.П. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

56
Если матрица
B постоянна (не зависит от номера итерации k), то
итерационный процесс называется стационарным.
Пусть
x
∗
r
– «гипотетическое» точное решение, строго удовлетво-
ряющее
x
xb
∗∗
=+B
r
rr
, а
(
)
(
)
kk
x
xx
∗
Δ=−
r
– ошибка на k-м шаге. Под-
ставляя
x
∗
r
в формулу простой итерации, получаем для соотношения
ошибок на (
k+1)-м и k-м шагах
(
)
(
)
11kk
x
x
+
+
=ΔB
r
.
Норма ошибки
(
)
(
)
(
)
11
k
kk
x
xx
+
Δ≤Δ≤ΔBB
rrr
.
Отсюда следует достаточное условие сходимости процесса про-
стой итерации:
=δB
, где 1δ< .
Действительно, тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
1111
k
k
k
x
xxx
+
Δ≤Δ=δΔ ΔB
rrrr
.
Оператор с
=δB
( 1
δ
< ) называется сжимающим, а процесс
(3.3.5.2), (3.3.5.3) для него сходящимся, так как ошибка убывает с каж-
дым шагом, независимо от её начальной величины.
Спектральным радиусом матрицы (оператора конечной размерно-
сти)
B называется
()
max
i
i
ρ= βB
, где
i
β
– собственные числа оператора
B.
Для любой нормы справедливо соотношение
(
)
ρ
≤BB
.
Необходимое и достаточное условие сходимости процесса про-
стой итерации (3.3.5.3):
(
)
1
ρ
<B
, (3.3.5.5)
при этом итерации сходятся не хуже геометрической прогрессии со
знаменателем
()
q
=
ρ B
Условие (3.3.5.5) является, как правило, существенным ограниче-
нием при непосредственном применении метода (3.3.5.2), (3.3.5.3) к за-
данной СЛАУ. Выбор нового оператора
B
%
с другим спектром при экви-
валентности исходной системе (3.3.1.1) может значительно расширить
область сходимости процесса простой итерации с его участием:
(
)
(
)
1kk
x
xb
+
=
+B
r
rr
%
%
, k = 0,1,2,... (3.3.5.6)
В качестве условия выхода из вычислительного процесса по дос-
тижении заданной точности решения ε, аналогично (3.2.4.1), можно
принять:

Страницы