Математическое моделирование в высоковольтной электротехнике. Фикс Н.П. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

60
где
D – диагональная матрица,
{
}
{
}
,,ii ii
=DA
,
1, 2,i
=
K
;
{
}
,
0
ij
=
D
,
ij≠ .
Тогда для метода Якоби справедлива матричная запись уравнения
аналогично (3.3.5.6), где
1
−
=
BDC
%
;
1
bb
−
=
D
r
%
. (3.3.6.3)
Матрица
1−
D – диагональная и
{
}
{}
1
,
,
1
ii
ii
−
=DA
, i =1,2, ..., n.
Необходимое и достаточное условие сходимости метода Якоби
()
(
)
1
1
−
ρ−<DDA
.
Другой известный метод простой итерации для случая, когда
B
%
строится на основе матрицы с нулевой главной диагональю – это
метод
Зейделя
. Он отличается от метода Якоби тем, что при расчете координат
вектора
(
)
1k
x
+
r
на текущей (k+1)-й итерации используются не только
координаты вектора на предыдущей
k-й итерации
(
)
k
x
r
, но и уже ранее
найденные на текущей итерации координаты вектора
(
)
1k
x
+
r
:
,
i =1,2,...,n. k = 0,1,2,... (3.3.6.4)
В матричных обозначениях это соответствует представлению ис-
ходной матрицы
A как
=
++ALDU,
где
L – нижняя треугольная матрица; D – диагональная матрица;
{
}
{
}
,,ii i j
=DA
, i =1,2,...,n; U – верхняя треугольная матрица.
В отличие от метода Якоби действие оператора
B
%
на вектор пре-
дыдущей итерации разделяется здесь на две части:
, (3.3.6.5)
и процесс его воздействия (но не результат) нельзя свести к воздейст-
вию какой-либо матрицы на вектор предыдущей итерации.
Метод Зейделя хорошо поддается алгоритмизации. Если известна
скорость сходимости метода, нет необходимости хранить оба вектора
(
)
1k
x
+
r
и
(
)
k
x
r
.
Достаточными условиями сходимости методов Якоби и Зейделя
является диагональное преобладание в матричных элементах:

Страницы