Математика и информатика. Филимонова Л.В - 34 стр.

                                       34

      Опр. 5.3.2 Событие А называется независимым от события В,
если вероятность события А не меняется в зависимости от того, про-
изошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым
от события В. Два события А и В называются независимыми, если ве-
роятность одного из них не зависит от появления или непоявления
другого, зависимыми – в противном случае.
      Теорема 5.3.1. (умножения вероятностей) Вероятность
произведения двух независимых событий равна произ-
ведению вероятностей этих событий:
                           Р(А⋅В)=Р(А)⋅Р(В)(5).
      Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий,
если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого
из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.
      Опр. 5.3.3 Вероятность события А, вычисленная при условии,
что имеет место событие В, называется условной вероятностью собы-
тия А при условии появления В и обозначается РВ(А).
      Теорема 5.3.2. Вероятность появления произведения
двух событий равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность второго, вычислен-
ную при условии, что первое событие произошло:
                  Р(А⋅В)=Р(А)⋅РА(В)=Р(В)⋅РВ(А) (6).
      Пример 5.3.1. Ученик дважды извлекает по одному билету из
34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготов-
лено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?
      Решение: Пусть событие А состоит в том, что в первый раз дос-
тался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный би-
лет. Тогда А⋅В – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельст-
вах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного би-
лета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому
используем формулу (6):
                                                     4 30 20
                   Р ( А ⋅ В) = Р( А) ⋅ РА ( В) =      ⋅ =    . ♦
                                                    34 33 187
      Заметим, что полученная в решении вероятность ≈0,107. Почему
так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и
дается две попытки?!
      Теорема 5.3.3. (расширенная теорема сложения) Вероят-
ность суммы двух событий равна сумме вероятностей
этих событий без вероятности их совместного появ-
ления (произведения):
                  Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А⋅В)           (7).
      Пример 5.3.2. В электрическую цепь последовательно включе-
ны 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6;
второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате
выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.