Математика и информатика. Филимонова Л.В - 35 стр.

                                                             35

      Решение: Событие А – выход из строя первого предохранителя,
В – второго, А+В – выход из строя хотя бы одного из них. События А
и В совместны и независимы, поэтому по теореме 3 получим:
Р( А + В) = Р( А) + Р( В) − Р( А ⋅ В) = Р( А) + Р( В) − Р( А) ⋅ Р( В) = 0,6 + 0,2 − 0,6 ⋅ 0.2 = 0,68. ♦

          п.4 Формула полной вероятности. Формула Байесса.
                           Формула Бернулли.
     Формула полной вероятности является следствием теорем сло-
жения и умножения вероятностей.
     Пусть некоторое событие А происходит только с каким-нибудь
одним из событий Н1, Н2, Н3, …, Нn, которые образуют полную группу
событий и называются гипотезами. В этом случае событие А можно
представить в виде: А=А⋅Н1 + А⋅Н2 + А⋅Н3 + … +А⋅Нn. Отсюда, при-
меняя теоремы сложения и умножения вероятностей и учитывая, что
гипотезы попарно несовместны, получим:
                                                                                                  n
Р ( А) = Р( Н1 ) ⋅ РН 1 ( А) + Р( Н 2 ) ⋅ РН 2 ( А) + ... + Р( Н n ) ⋅ PH N ( A) = ∑ P ( H i ) ⋅ PH i ( A) (8),
                                                                                                 i =1

которая называется формулой полной вероятности. Используя фор-
мулы (6) и (8), можно получить формулу Байесса (формулу вероятно-
сти гипотез):
                                  P( H i ) ⋅ PH i ( A)            P( H i ) ⋅ PH i ( A)
                   РА ( Н i ) =                          =    n
                                                                                             , i = 1,2,..., n. (9).
                                        P ( A)
                                                             ∑ P( H ) ⋅ P
                                                             i =1
                                                                          i     Hi    ( A)

      Пример 5.4.1. В районе имеется три хлебных магазина. Вероят-
ность того, что человек пойдет за хлебом в первый магазин, равна 0,5;
во второй – 0,3; в третий – 0,2. Вероятность купить в магазинах све-
жий хлеб равна соответственно 0,7; 0,5 и 0,3. Человек пошел за хле-
бом. Найти вероятность того, что он купит свежий хлеб.
      Решение: Обозначим А – событие, состоящее в том, что человек
купит свежий хлеб; Н1- покупка была сделана в первом магазине, Н2 -
во втором, Н3 – в третьем. Из условия задачи известны: Р(Н1)=0,5;
Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2, а также РН ( А) = 0,7 , РН ( А) = 0,5 , РН ( А) = 0,3 . По
                                                         1                        2                       3


формуле полной вероятности имеем:
                    Р ( А) = 0,5 ⋅ 0,7 + 0,3 ⋅ 0,5 + 0,2 ⋅ 0,3 = 0,56 . ♦
      Пример 5.4.2. Данные из предыдущего примера. Известно, что
человек купил свежий хлеб. Найти вероятность того, что покупка сде-
лана в первом магазине.
      Решение: Используя полученные выше результаты, по формуле
                                  0,5 ⋅ 0,7 5
(9) находим: Р( Н1 ) =                     = = 0,625 . ♦
                                    0,56    8
     Если производится несколько опытов, вероятность появления
события А в каждом из которых постоянна и не зависит от исходов
остальных опытов, то такие опыты называются независимыми от со-
бытия А.