Математика и информатика. Филимонова Л.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

36
Пусть производится n независимых опытов, вероятность появ-
ления события А в каждом из которых постоянна и равна
р. Тогда ве-
роятность его непоявления в каждом из опытов также постоянна и
равна
1-р=q. Требуется найти вероятность того, что в n опытах собы-
тие А появится ровно
m раз и не появится n-m раз. Формула для ее
нахождения:
mnmm
nn
qpCmР
−
=)(
, где
)!(!
!
mnm
n
С
m
n
−
=
(10), называется
формулой Я. Бернулли.
Пример 5.4.3. Вероятность попадания в цель при одном вы-
стреле составляет р=0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 вы-
стрелах.
Решение:
Здесь n=10, m=7, р=0,8, q=1-0,8=0,2. По формуле (10)
находим:
2,0)2,0()8,0(
!3!7
!10
)2.0()8,0(
)!710(!7
!10
)7(
377107
10
=⋅⋅=⋅⋅
−
=
−
Р . ♦
Задачи для самостоятельной работы
1. В урне находится 8 белых и 12 черных шаров. Наугад один за
одним извлекают два шара. Найти вероятность того, что: 1) оба шара
окажутся черными; 2) шары будут разного цвета; 3) первый шар будет
черный; 4) второй шар – белый.
2.
Решить предыдущую задачу при условии, что шары извлека-
ются одновременно.
3.
В ящике находится 24 детали, причем 15 из них стандартные.
Найти вероятность того, что с двух попыток (а также со второй по-
пытки) будет извлечена стандартная деталь.
4.
В первом ящике находится 12 белых и 6 черных шаров, а во
втором 15 белых и 3 черных. Найти вероятность того, что из случайно
выбранного ящика будет извлечен белый шар.
5.
Найти вероятность того, что с третьей попытки будет угадано
задуманное однозначное число.
6.
В ящике в случайном порядке расположены 20 деталей, при-
чем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти
вероятность того, что по крайней мере одна из них окажется стан-
дартной.
7.
На карточках написаны буквы «к», «н», «т», «и», «о». Найти
вероятность того, что из наугад выбранных и разложенных в ряд трех
карточек сложится слово «ток».
8.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число
окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
9.
В ящике находится три вида деталей: 10 штук – первого, 15 –
второго, 5 – третьего вида. Найти вероятность того, что из двух извле-
ченных деталей одна окажется первого, а другая третьего вида.
10.
В классе 7 отличников, 14 хорошистов, 3 троечника. Ве-
роятности для них ответить на вопрос учителя соответственно равны 
                                                36

     Пусть производится n независимых опытов, вероятность появ-
ления события А в каждом из которых постоянна и равна р. Тогда ве-
роятность его непоявления в каждом из опытов также постоянна и
равна 1-р=q. Требуется найти вероятность того, что в n опытах собы-
тие А появится ровно m раз и не появится n-m раз. Формула для ее
                                                                 n!
нахождения: Рn (m) = Cnm p m q n − m , где С nm =                              (10), называется
                                                            m! (n − m)!
формулой Я. Бернулли.
     Пример 5.4.3. Вероятность попадания в цель при одном вы-
стреле составляет р=0,8. Найти вероятность 7 попаданий при 10 вы-
стрелах.
     Решение: Здесь n=10, m=7, р=0,8, q=1-0,8=0,2. По формуле (10)
                         10!                               10!
находим: Р10 (7) =               ⋅ (0,8) 7 ⋅ (0.2)10 − 7 =      ⋅ (0,8) 7 ⋅ (0,2)3 = 0,2 .   ♦
                     7!(10 − 7)!                           7!3!


                   Задачи для самостоятельной работы
     1. В урне находится 8 белых и 12 черных шаров. Наугад один за
одним извлекают два шара. Найти вероятность того, что: 1) оба шара
окажутся черными; 2) шары будут разного цвета; 3) первый шар будет
черный; 4) второй шар – белый.
     2. Решить предыдущую задачу при условии, что шары извлека-
ются одновременно.
     3. В ящике находится 24 детали, причем 15 из них стандартные.
Найти вероятность того, что с двух попыток (а также со второй по-
пытки) будет извлечена стандартная деталь.
     4. В первом ящике находится 12 белых и 6 черных шаров, а во
втором 15 белых и 3 черных. Найти вероятность того, что из случайно
выбранного ящика будет извлечен белый шар.
     5. Найти вероятность того, что с третьей попытки будет угадано
задуманное однозначное число.
     6. В ящике в случайном порядке расположены 20 деталей, при-
чем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти
вероятность того, что по крайней мере одна из них окажется стан-
дартной.
     7. На карточках написаны буквы «к», «н», «т», «и», «о». Найти
вероятность того, что из наугад выбранных и разложенных в ряд трех
карточек сложится слово «ток».
     8. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число
окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
     9. В ящике находится три вида деталей: 10 штук – первого, 15 –
второго, 5 – третьего вида. Найти вероятность того, что из двух извле-
ченных деталей одна окажется первого, а другая третьего вида.
     10. В классе 7 отличников, 14 хорошистов, 3 троечника. Ве-
роятности для них ответить на вопрос учителя соответственно равны

Страницы