Математика и информатика. Филимонова Л.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

40
OA = -OC; OB = -OD
Противоположные вектора в сумме дают нуле-
вой вектор.
OA + OB + OC + OD = 0
Пример 2. Определить длины векторов в
а
r
r
+
и ва
r
r
−
и угол между
ними, если
а
r
=(3;-5;8),
в
r
=(-1;1;-4) .
Решение:
Прежде найдем координаты указанных векторов:
в
а
r
r
+ =(3-1; -5+1;8-4) = (2;-4;4), аналогично, ва
r
r
−
=(4;-6;12). Теперь по
формуле (1) находим:| в
а
r
r
+|= 64)4(2
222
=+−+ ;
| ва
r
r
−|= 1412)6(4
222
=+−+ .
Далее по формуле (4): cos α =
21
20
146
124)6()4(42
=
⋅
⋅
+
−
⋅
−
+
⋅
, тогда угол
между векторами α=arccos
21
20
. ♦
Пример 3. Найти координаты вектора
в
r
, коллинеарного вектору
а
r
=(1;-2), если в
а
r
r
⋅
=10.
Решение:
Находим |
а
r
|= 5 , тогда |
в
r
|= 52
5
10
=
; т.к. координаты кол-
линеарных векторов пропорциональны, то
21
21
−
=
вв
⇒
12
2вв −= . Из
формулы (1) получим
2520)52(
1
2
1
2
2
2
1
2
=⇒=⇒+= вввв и
.422
2
−=⋅−=в
Т.е.
в
r
(2;-4). ♦
Задачи для самостоятельной работы
1. Дан прямоугольник АВСД, точка О – точка пересечения его диаго-
налей. Указать по рисунку все пары векторов: 1) равных; 2) проти-
воположных; 3) одинаково направленных; 4) противоположно на-
правленных; 5) коллинеарных.
2.
В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найти сум-
му векторов ОА, ОВ и ОС.
3.
Даны длины векторов: |
а
r
|=13, |
в
r
|=19, | в
а
r
r
+
|=22. Найти |
ва
r
r
−
|.
4.
Найти угол между векторами
а
r
=(4;0;3) и
в
r
=(2;-2;1).
5.
Угол между векторами
а
r
и
в
r
равен 120
0
, |
а
r
|=3, |
в
r
|=2. Найти:
1)
в
а
r
r
⋅ , 2) ( в
а
r
r
+ )
2
, 3) (
ва
r
r
)
2
, 4) (4
ва
r
r
)⋅(2
в3а
r
r
).
6.
При каком m вектор
а
r
(m;7;-2) перпендикулярен вектору
в
r
(-3;m;2).
7.
Дан ненулевой вектор ОА. Отложить из точки О: 3⋅ОА; -2⋅ОА;
0,5⋅ОА;
2 ⋅ОА.
8.
Вектора АС=
m
v
и ВД=n
r
служат диагоналями параллелограмма
АВСД. Выразить вектора АВ, ВС, СД, ДА через
m
r
и n
r
.
9.
В треугольнике АВС: А(-2;-1), В(2;5), С(3;-2). Найти угол ∠АСВ.
10.
Когда скалярное произведение векторов равно нулю, меньше нуля,
больше нуля? 
                                       40



                           OA = -OC; OB = -OD
                          Противоположные вектора в сумме дают нуле-
                          вой вектор.
                             OA + OB + OC + OD = 0
                                               r r      r r
Пример 2. Определить длины        r   векторов а + в  и а − в и угол между
                  r
ними, если        а =(3;-5;8), в =(-1;1;-4) .
Решение: Прежде найдем координаты указанных векторов:
r r                                               r r
а + в =(3-1; -5+1;8-4) = (2;-4;4), аналогично, а − в =(4;-6;12). Теперь по
                             r r
формуле (1) находим:| а + в |= 22 + (−4) 2 + 42 = 6 ;
  r r
| а − в |= 42 + (−6) 2 + 122 = 14 .
                                      2 ⋅ 4 + (−4) ⋅ (−6) + 4 ⋅ 12 20
Далее по формуле (4):       cos α =                               =    ,   тогда угол
                                                 6 ⋅ 14             21
                              20
между векторами α=arccos         .♦
                              21
                                                    r
Пример
r          3. Найти координаты вектора в , коллинеарного вектору
                r r
а =(1;-2), если а ⋅ в =10.
                        r           r 10
Решение: Находим | а |= 5 , тогда | в |= = 2 5 ; т.к. координаты кол-
                                                5
                                                     в1   в
линеарных векторов пропорциональны, то                  = 2 ⇒ в2 = −2в1 . Из
                                                     1 −2
                                                 2    2          2
формулы         (1) получим           (2 5 ) = в1 + в2 ⇒ 20 = 5в1 ⇒ в1 = 2
                                            2
                                                                           и
                       r
в2 = −2 ⋅ 2 = −4. Т.е. в (2;-4). ♦


                        Задачи для самостоятельной работы
1. Дан прямоугольник АВСД, точка О – точка пересечения его диаго-
    налей. Указать по рисунку все пары векторов: 1) равных; 2) проти-
    воположных; 3) одинаково направленных; 4) противоположно на-
    правленных; 5) коллинеарных.
2. В треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найти сум-
    му векторов ОА, ОВ и ОС.
                                   r         r       r r                   r r
3. Даны длины векторов: | а |=13, r| в |=19, | а + rв |=22. Найти | а − в |.
4. Найти угол между векторами а =(4;0;3) и в =(2;-2;1).
                                  r r                     r       r
5. Угол между векторами а и в равен 120 0, | а|=3, | в |=2. Найти:
        r r         r r             r r             r r        r r
    1) а ⋅ в , 2) ( а + в )2, r3) ( а − в )2, 4) (4 а − в )⋅(2 а + 3в ).    r
6. При каком m вектор а (m;7;-2) перпендикулярен вектору в (-3;m;2).
7. Дан ненулевой вектор ОА. Отложить из точки О: 3⋅ОА; -2⋅ОА;
    0,5⋅ОА; 2 ⋅ОА.
                       v             r
8. Вектора АС= m и ВД= n служат диагоналями параллелограмма
                                                                    r    r
    АВСД. Выразить вектора АВ, ВС, СД, ДА через m и n .
9. В треугольнике АВС: А(-2;-1), В(2;5), С(3;-2). Найти угол ∠АСВ.
10. Когда скалярное произведение векторов равно нулю, меньше нуля,
    больше нуля?

Страницы