Математика и информатика. Филимонова Л.В - 46 стр.

                                     46

                  § 8. Основы математического анализа.

                  п.1 Функции и последовательности.
       Рассмотрим задачу: “У Маши 10 конфет. Она отдала Вите 6
конфет, сколько конфет осталось у Маши?” Ответ: “У Маши осталось
4 конфеты”. Но если изменить количество отданных Машей конфет на
7, то изменится и ответ: у Маши останется 3 конфеты. Т.о., если обо-
значить количество отданных Машей конфет x, а количество остав-
шихся у Маши конфет y, то получим равенство x+y=10. Из этого ра-
венства получим, y=10-x. Т.о., это равенство позволяет для каждого
значения x найти свое значение y. Но количество конфет не может
выражаться ни отрицательным, ни дробным числом – это натуральное
число. Поэтому x может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Со-
ответствие между x и y задается таблицей:
      X 1       2     3    4      5    6 7   8     9
      Y 9       8     7    6      5    4 3   2     1
       Эта таблица определяет отображение числового множества
X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} в множество R действительных чисел, или как
говорят, числовую функцию с областью определения X.
       Опр 8.1.1: Говорят, что на множестве X⊂R (⊂ – этот знак озна-
чает, что множество X содержится в множестве R) задана числовая
функция, если каждому числу x из этого множества поставлено в со-
ответствие некоторое число y.
       Функцию обозначают буквой f и пишут y=f(x), x∈X. Множество
X называют областью определения этой функции. x называют аргу-
ментом функции y=f(x). Значение функции, соответствующее значе-
нию а аргумента х, обозначают f(a). Множество Y={f(x)| x∈X} назы-
вают множеством значений функции.
       Опр 8.1.2: графиком функции y=f(x) называют множество пар
(x;y) таких, что x∈X, а y=f(x), т.е. пар вида (x;f(x)), x∈X. Каждой паре
соответствует точка на координатной плоскости, имеющая координа-
ты (x;f(x)).
Пример 8.1.1: Найдите множество значений функции y=-4x для
x∈X={-2,-1,0,1,2}. .Постройте график данной функции для x∈R.
Решение: Так как множество X конечно, то множество значений
функции y=-4x, можно найти, подставляя по очереди значения x. По-
лучаем:
       x = -2       y = (-4) ⋅ (-2) = 8      x = -1      y = (-4) ⋅ (-1) = 4
       x=0          y = (-4) ⋅ 0 = 0         x=1         y = (-4) ⋅ 1 = -4
       x=2          y = (-4) ⋅ 2 = -8
       Таким образом: Y={-8,-4,0,4,8}
       График функции для x∈R имеет вид (Рис. 36):