Математика и информатика. Филимонова Л.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

49
Решение: a
1
=1, n=1, a
2
=2, n=2, a
3
=6, n=3, a
4
=24, n=4, a
5
=120.
Простейшими примерами рекуррентных последовательностей
являются арифметическая прогрессия (формула общего члена:
a
n
=a
1
+(n-1)d) и геометрическая прогрессия (формула общего члена:
a
n
=a
1
q
n-1
). Более сложный пример рекуррентной последовательности
является последовательность чисел Фибоначчи (итальянский матема-
тик начала XIII в., рассмотревший задачу, в которой встречались эти
числа): a
n+2
=a
n+1
+a
n
.
п.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, …,n,… моно-
тонно возрастает, т.е. ее члены становятся все больше и больше. Если,
например, задать число 10, то начиная с номера 11 все члены данной
последовательности станут больше этого числа. Вообще, какое бы
число M мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все
члены нашей последовательности окажутся больше M. Последова
-
тельности, обладающие таким свойством называются стремящимися к
+∞.
Опр 8.2.1
Последовательность a
1
, a
2
, …, a
n
, … стремится к +∞,
если для любого M>0 найдется номер N, начиная с которого все чле-
ны последовательности удовлетворяют неравенству a
n
>M.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел
1,4,9,16,25,… также является стремящейся к +∞.
Если поменять знаки у всех членов последовательности, стре-
мящейся к +∞, получится последовательность, которая стремится к
-∞. Например: -1,-4,-9,-16,-25,…
Если последовательность стремится к +∞, то пишут
+∞=
∞→
n
n
alim
, а если она стремится к -∞, то пишут
−∞=
∞→
n
n
alim
.
Опр 8.2.2
Последовательность a
1
, a
2
, …, a
n
, … называется беско-
нечно большой тогда и только тогда, когда
+
∞
=
∞→
||lim
n
n
a
Таким образом, согласно определению, последовательности
а) -1,-4,-9,-16,-25,… б) 1, 3, 9, 27, 81, 243, … являются бесконечно
большими, так как предел модулей их общих членов равен +∞.
Мы знаем, что чем больше знаменатель положительной дроби,
тем меньше значение этой дроби:
...
1000
1
...
100
1
...
3
1
2
1
1
1
>>>>>>>
Таким
образом, если знаменатель дроби стремиться к +∞, то сама дробь
стремиться к 0, или, что тоже самое, если
∞
=
∞→
n
n
alim
, то последова-
тельность
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
a
1
бесконечно мала.
Опр 8.2.3
Последовательность a
1
, a
2
, …, a
n
, … называется беско-
нечно малой, если для любого положительного малого числа ε най-
                                   49

Решение: a1=1, n=1, a2=2, n=2, a3=6, n=3, a4=24, n=4, a5=120.
      Простейшими примерами рекуррентных последовательностей
являются арифметическая прогрессия (формула общего члена:
an=a1+(n-1)d) и геометрическая прогрессия (формула общего члена:
an=a1qn-1). Более сложный пример рекуррентной последовательности
является последовательность чисел Фибоначчи (итальянский матема-
тик начала XIII в., рассмотревший задачу, в которой встречались эти
числа): an+2=an+1+an.

 п.2 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
       Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, …,n,… моно-
тонно возрастает, т.е. ее члены становятся все больше и больше. Если,
например, задать число 10, то начиная с номера 11 все члены данной
последовательности станут больше этого числа. Вообще, какое бы
число M мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все
члены нашей последовательности окажутся больше M. Последова-
тельности, обладающие таким свойством называются стремящимися к
+∞.
       Опр 8.2.1 Последовательность a1, a2, …, an, … стремится к +∞,
если для любого M>0 найдется номер N, начиная с которого все чле-
ны последовательности удовлетворяют неравенству an>M.
       Например, последовательность квадратов натуральных чисел
1,4,9,16,25,… также является стремящейся к +∞.
       Если поменять знаки у всех членов последовательности, стре-
мящейся к +∞, получится последовательность, которая стремится к
-∞. Например: -1,-4,-9,-16,-25,…
       Если последовательность стремится к +∞, то пишут
lim  an = +∞ , а если она стремится к -∞, то пишут lim  an = −∞ .
n →∞                                               n →∞
     Опр 8.2.2 Последовательность a1, a2, …, an, … называется беско-
нечно большой тогда и только тогда, когда lim  | an |= +∞
                                          n →∞
       Таким образом, согласно определению, последовательности
а) -1,-4,-9,-16,-25,… б) 1, 3, 9, 27, 81, 243, … являются бесконечно
большими, так как предел модулей их общих членов равен +∞.
       Мы знаем, что чем больше знаменатель положительной дроби,
                                   1 1 1         1            1
тем меньше значение этой дроби:     > > > ... >     > ... >      > ... Таким
                                   1 2 3        100         1000
образом, если знаменатель дроби стремиться к +∞, то сама дробь
стремиться к 0, или, что тоже самое, если lim  an = ∞ , то последова-
                                          n →∞
           ⎛ 1 ⎞
тельность ⎜⎜ ⎟⎟ бесконечно мала.
          ⎝ an ⎠
     Опр 8.2.3 Последовательность a1, a2, …, an, … называется беско-
нечно малой, если для любого положительного малого числа ε най-

Страницы