Математика и информатика. Филимонова Л.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

51
Функция y=(x-1)
2
обращается в нуль при x=1. Если взять значе-
ния аргумента близкие к числу 1, им будут соответствовать сколь
угодно малые значения функции. Например, |x-1|<0,1, то
|x-1|
2
<0,01, т.е. на интервале (0,9; 1,1) выполняется неравенство
|x-1|
2
<0,01. Аналогично можно доказать, что на интервале (0,99; 1,01)
выполняется неравенство |x-1|
2
<0,0001 Таким образом, для любого
сколь угодно малого ε>0 (ε = 0,01, 0,0001, …) найдется окрестность
точки x=1, в которой выполняется неравенство (x-1)
2
<ε . Говорят, что
функция y=(x-1)
2
бесконечно мала, если x→1.
Опр 8.4.2
Функция называется бесконечно малой при x→a, если
для любого ε>0 можно указать окрестность точки a, во всех точках ко-
торой выполняется неравенство |f(x)|<ε
Пример 8.4.1 Функция
3
axy −= бесконечно мала при х→а. В са-
мом деле, неравенство
ε
<− ||
3
ax
имеет место, если |х-а|<ε
3
, т.е.
а-ε
3
<x<a+ε
3
.
Рассмотрим пример: функция y=x
2
+1 не является бесконечно
малой при x→3 (напрмер, если х=3,01, то y=10,0601). Но эту функцию
можно записать так: y=10+(x
2
-9), Здесь слагаемое (x
2
-9) является бес-
конечно малым при x→3. Поэтому когда х мало отличается от 3, зна-
чение заданной функции мало отличается от 10. Говорят, что предел
этой функции при x→3 равен 10, и пишут,
10)1(lim
2
3
=+
→
x
x
Опр 8.4.3
Если функцию y=f(x) можно представить в виде сум-
мы числа b и функции y=α(x), бесконечно малой при x→a, т.е. в виде
y=b+α(x), то число b называют
пределом этой функции при x→a и
пишут
bxf
ax
=
→
)(lim
Свойства пределов функций:
1)
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют пределы при х→а, то их
сумма и произведение имеют пределы при х→а, причем: предел
суммы савен сумме пределов:
=
+
→
))()((lim xgxf
ax
)(lim xf
ax→
)(lim xg
ax→
+
предел произведения равен произведению пределов:
=⋅
→
))()((lim xgxf
ax
)(lim xf
ax→
)(lim xg
ax→
⋅
2)
Если функции y=f(x) и y=g(x) имеют пределы при х→а, причем
второй предел отличен от нуля, то
=
→
)(
)(
lim
xg
xf
ax
)(lim
)(lim
xg
xf
ax
ax
→
→
Пример 8.4.2. вычислить предел:
12
10
lim
2
2
5
−
+
→
x
x
x
                                            51

       Функция y=(x-1)2 обращается в нуль при x=1. Если взять значе-
ния аргумента близкие к числу 1, им будут соответствовать сколь
угодно малые значения функции. Например, |x-1|<0,1, то
|x-1|2<0,01, т.е. на интервале (0,9; 1,1) выполняется неравенство
|x-1|2<0,01. Аналогично можно доказать, что на интервале (0,99; 1,01)
выполняется неравенство |x-1|2<0,0001 Таким образом, для любого
сколь угодно малого ε>0 (ε = 0,01, 0,0001, …) найдется окрестность
точки x=1, в которой выполняется неравенство (x-1)2<ε . Говорят, что
функция y=(x-1)2 бесконечно мала, если x→1.
       Опр 8.4.2 Функция называется бесконечно малой при x→a, если
для любого ε>0 можно указать окрестность точки a, во всех точках ко-
торой выполняется неравенство |f(x)|<ε
Пример 8.4.1 Функция y = 3 x − a   бесконечно мала при х→а. В са-
мом деле, неравенство | 3 x − a |< ε имеет место, если |х-а|<ε3, т.е.
а-ε3

Страницы