Математика и информатика. Филимонова Л.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

52
Решение: Очевидно, что
5lim
5
=
→
x
x
. Поэтому по сформулированным
выше утверждениям имеем:
()
()
(
)
()
7
5
49
35
152
105
1lim2
10lim
12lim
10lim
12
10
lim
2
2
2
5
2
5
2
5
2
5
2
2
5
==
−⋅
+
=
−⋅
+
=
−
+
=
−
+
→
→
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Опр 8.4.4
если в точке а знаменатель дробно-рациональной
функции обращается в нуль, а ее числитель отличен от нуля, то по ме-
ре приближения
х к а значения функции становятся сколь угодно
большими по модулю. Говорят, что функция бесконечно велика, когда
х стремится к а, и пишут
∞=
→
)(
)(
lim
xg
xf
ax
.
Пример 8.4.3. Вычислить предел
4
7
lim
2
2
2
−
+
→
x
x
x
Решение:
Так как при х→2 знаменатель дроби х
2
-4 обращается в
нуль, а числитель дроби х
2
+7 отличен от нуля, то
∞=
−
+
→
4
7
lim
2
2
2
x
x
x
Если же при х=а в нуль обращается и числитель и знаменатель,
то надо сделать тождественные преобразования, сократив числитель и
знаменатель на х-а.
Пример 8.4.4. Вычислить предел
127
9
lim
2
2
3
+
−
−
→
x
x
x
x
Решение:
При х=3 числитель и знаменатель данной дроби
обращаются в нуль, поэтому для взятия этого предела необходимо
выполнить некоторые преобразования. Разложими числитель и
знаменатель данной дроби на множители. Числитель представляет
собой разность квадратов, т.е. х
2
-9=(х-3)(х+3). Знаменатель можно
представить как квадратное уравнение: х
2
-7х+12=0.
D=b
2
-4ac=49-48=1, x
1
= 4
2
17
2
=
+
=
+−
a
Db
, x
2
= 3
2
17
2
=
−
=
−−
a
Db
.
Таким образом х
2
-7х+12=a(x-x
1
)(x-x
2
)=(x-3)(x-4).
6
43
33
4
3
lim
)4()3(
)3()3(
lim
127
9
lim
33
2
2
3
−=
−
+
=
−
+
=
−⋅−
+⋅−
=
+−
−
→→→
x
x
xx
xx
xx
x
xxx
п. 5. Приращение, дифференциал и производная функции
Объем куба является функцией от его стороны, V=x
3
. Если куб
сделан из металла, то при нагревании длина стороны куба увеличива-
ется, а значит увеличивается и объем куба. Если длина стороны была
х и увеличилась на h, то она примет значение x+h и объем куба станет
равен (x+h)
3
. Значит при нагревании объем куба увеличился на
(x+h)
3
-x
3
. Эту разность называют приращением объема куба, а число h
– приращением длины ребра. В математике приращение какой-нибудь 
                                           52

Решение: Очевидно, что lim  x = 5 . Поэтому по сформулированным
                       x →5

выше утверждениям имеем:
      x 2 + 10 lim     (    )
                     x 2 + 10    ( )  2
                                lim x + 10     5 2 + 10 35 5
              =               =
                                  ( )        =           =  =
                x →5            x →5
lim 2
 x →5 2 x − 1          (    )
                lim 2 x 2 − 1 2 ⋅ lim x 2 − 1 2 ⋅ 5 2 − 1 49 7
                x →5                x →5
      Опр 8.4.4 если в точке а знаменатель дробно-рациональной
функции обращается в нуль, а ее числитель отличен от нуля, то по ме-
ре приближения х к а значения функции становятся сколь угодно
большими по модулю. Говорят, что функция бесконечно велика, когда
                             f ( x)
х стремится к а, и пишут lim        =∞.
                         x→a g ( x)

                                      x2 + 7
Пример 8.4.3. Вычислить предел lim
                                 x→2 x 2 − 4

Решение: Так как при х→2 знаменатель дроби х2-4 обращается в
                                                         x2 + 7
                         2
нуль, а числитель дроби х +7 отличен от нуля, то lim             =∞
                                                     x→2 x 2 − 4

      Если же при х=а в нуль обращается и числитель и знаменатель,
то надо сделать тождественные преобразования, сократив числитель и
знаменатель на х-а.
                                          x2 − 9
Пример 8.4.4. Вычислить предел lim
                                 x →3 x 2 − 7 x + 12

Решение:     При х=3 числитель и знаменатель данной дроби
обращаются в нуль, поэтому для взятия этого предела необходимо
выполнить некоторые преобразования. Разложими числитель и
знаменатель данной дроби на множители. Числитель представляет
собой разность квадратов, т.е. х2-9=(х-3)(х+3). Знаменатель можно
представить как квадратное уравнение: х2-7х+12=0.
                           − b + D 7 +1           − b − D 7 −1
D=b2-4ac=49-48=1, x1=             =     = 4 , x2=        =     = 3.
                               2a    2                2a    2
Таким образом х2-7х+12=a(x-x1)(x-x2)=(x-3)(x-4).
       x2 − 9            ( x − 3) ⋅ ( x + 3)        x +3 3+3
lim 2             = lim                      = lim        =     = −6
x →3 x − 7 x + 12   x →3 ( x − 3) ⋅ ( x − 4)   x →3 x − 4   3−4

      п. 5. Приращение, дифференциал и производная функции
      Объем куба является функцией от его стороны, V=x3. Если куб
сделан из металла, то при нагревании длина стороны куба увеличива-
ется, а значит увеличивается и объем куба. Если длина стороны была
х и увеличилась на h, то она примет значение x+h и объем куба станет
равен (x+h)3. Значит при нагревании объем куба увеличился на
(x+h)3-x3. Эту разность называют приращением объема куба, а число h
– приращением длины ребра. В математике приращение какой-нибудь

Страницы