Математика и информатика. Филимонова Л.В - 54 стр.

                                                                  54

     Механический смысл производной: мгновенная скорость точки
в момент времени t равна значению в этот момент производной от пе-
ремещения, т.е. от функции x=f(t).

                    п.6 Формулы дифференцирования
1. Производная постоянной равна 0 C’=0
2. Производная функции y=x равна единице x’=1.
3. Производная суммы двух функций равна сумме производных
    u’+v’=(u+v)’
4. Производная произведения двух функций вычисляется по форму-
    ле: (uv)’=u’v+uv’
5. Производная частного двух функций вычисляется по формуле:
         ′
    ⎛ u ⎞ u ′v − uv′
    ⎜ ⎟ =
    ⎝v⎠         v2
6. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
    (Cu)’=Cu’
7. Для любого натурального значения n имеет место равенство:
    (xn)’=nxn-1
Пример 8.6.1. Вычислить производную функции y=8x5+6 x
                                                          ′
                                              5 ′
                                                   ⎛ 12 ⎞
y ′ = (8x + 6 x ) ′ = (8x ) ′ + (6 x ) ′ = 8 x + 6⎜⎜ x ⎟⎟ =
           5             5
                                                                          ( )
                                                   ⎝ ⎠
                                1
               1 −             3
= 8 ⋅ 5 x + 6 ⋅ x 2 = 40 x 4 +
          4

               2                x
                                              x2 −1
Пример 8.6.2. Вычислить производную функции y= 2
                                              x +1

                      ′                        ′
      x2 −1
y′ = ( 2    )′ =
                            (        ) (
                 x2 −1 ⋅ x2 +1 − x2 −1 ⋅ x2 +1
                                                 =
                                                       ) (            )(
                                                   2x x 2 + 1 − 2x x 2 − 1
                                                                           =
                                                                                )   (       )       (   )
      x +1                   x2 +1
                                   2
                                               (             )
                                                           x2 +1
                                                                 2
                                                                                        (       )
=
      (
    2x x 2 + 1 − x 2 + 1        )=    2x ⋅ 2
                                                       =
                                                                 4x
          (x   2
                    )
                   +1
                        2
                                     (x   2
                                               ) (x
                                              +1
                                                   2         2
                                                                 +1   )2




                      п.7 Неопределенный интеграл
      Наряду с задачами, в которых по заданной функции надо найти
ее производную, встречаются задачи, в которых по заданной произ-
водной надо найти функцию, которую дифференцировали. Эту функ-
цию называют первообразной для заданной. Т.о., функция y=F(x) яв-
ляется первообразной для функции y=f(x) в том и только том случае,
когда F′ (x)=f(x).
Пример 8.7.1. функция y=x3 является первообразной для функции
y=3x2, так как (x 3 ) ′ =3x2. Кроме этой функции, любая функция вида