Математика и информатика. Филимонова Л.В - 55 стр.

                                             55

y=x3+C , где С – произвольная постоянная, является первообразной
для y=3x2, т.к. (x 3 + C) ′ =3x2.
      Т.о., функция имеет множество первообразных. Совокупность
всех первообразных для функции y=f(x) называют неопределенным
интегралом этой функции и обозначают                      ∫ f ( x)dx
Т.о.,       ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , где С – произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла:
1. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме
   неопределенных интегралов от этих функций:
   ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
   ∫ λf ( x)dx = λ ∫ f ( x)dx
Пример 8.7.2. Вычислить интеграл ( x − 4x + 8)dx  ∫
                                                      5       2


Решение:
∫ (x        − 4x 2 + 8)dx = ∫ x5 dx + ∫ (−4x 2 )dx + ∫ 8dx =
        5


                                x6       x3
∫ x dx − 4∫ x dx + 8∫ dx = = 6 − 4 3 + 8 x + C
    5              2



Основные формулы:
                                   x n +1
∫                                                                      ∫
                                                                   n +1
   dx = x + C          ∫ x n
                             dx =         + C  ( n + 1) x n
                                                            dx = x      +C
                                   n +1

                     п.8 Определенный интеграл
      Из-за того, что в выражение неопределенного интеграла входит
произвольная постоянная С, нельзя найти значение этого интеграла
при заданном значении x. Тем не менее можно найти разность значе-
ний интеграла в данных точках b и а. В самом деле, каково бы ни бы-
ло С, имеем:
      [F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).
      Это равенство показывает, что для всех первообразных функции
y=f(x) разность их значений в точках b и а одна и таже, она не зависит
от С. Поэтому разность значений первообразной для функции y=f(x) в
точках b и a называют определенным интегралом от этой функции по
отрезку [a;b]. Определенный интеграл по отрезку [a;b] обозначают:
b                          b

∫
a
    f ( x)dx . Т.о.,       ∫
                           a
                               f ( x)dx = F (b) − F (a) , где F(x) – первообразная
                                                                  b
для f(x). Разность F(b)-F(a) обозначается F ( x ) a
Свойства определенных интегралов: