Математика и информатика. Филимонова Л.В - 53 стр.

                                   53

величины обозначают Δх. Т.о., если y=f(x) некоторая функция и х по-
лучил приращение Δх, то меняется и значение функции, в результате
чего она получает некоторое приращение Δy, которое вычисляется по
формуле Δy=f(x+Δx)-f(x).
Пример 8.5.1. Вычислить приращение функции y=x3
Решение: Приращение функции y=x3 имеет вид:
Δy = (x+Δx)3 - x3 = x3 + 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 - x3 = 3x2Δx + 3xΔx2 + Δx3 =
= 3x2Δx + (3xΔx + Δx2)Δx
При Δx→0 второе слагаемое стремится к 0 быстрее, поэтому главной
частью приращения функции является первое слагаемое. Оно называ-
ется дифференциалом функции и обозначается dy, т.е. dy=3x2Δx. При-
ращение аргумента называют в этом случае дифференциалом аргу-
мента и обозначают dx. Значит, dy=3x2dx.
      Если записать приращение функции в общем виде, то получим:
      Δy = 3x2Δx + (3xΔx + Δx2)Δx , т.е. Δy=A(x)Δx+αΔx
           A(x)          α

         Разделив обе части равенства Δy=A(x)Δx+αΔx на Δх получим:
Δy/Δx=A(x)+α. Но предел при Δx→0 бесконечно малой α равен 0,
поэтому
                                         Δy
                                    lim     = A( x)
                                   Δx →0 Δx

         В этом равенстве придел приращения функции к приращению
аргумента при стремлении последнего к нулю называется производ-
ной функции y=f(x) при заданном значении x. Его обозначают f ′( x ) .
Пример 8.5.2 Найти дифференциал и производную функции y=x2.
Решение:
1) приращение этой функции имеет вид:
    Δy=(x+Δx)2-x2=x2+2xΔx+Δx2-x2=2xΔx+Δx2. Слагаемым, пропорцио-
    нальным Δx является первое слагаемое, значит Δy=2xΔx. Таким
    образом, дифференциал заданной функции dy=2xdx.
2) Для нахождения производной разделим обе части полученного ра-
    венства Δy=2xΔx на Δx, получим Δy/Δx=2x+Δx. Найдем
           Δy
     lim      = lim (2 x + Δx) = 2 x ,                           y=f(x)
     Δx→0 Δx    Δx→0

    следовательно, f ′( x ) = 2x                    y

          Геометрический смысл производ-                      y=kx+b

ной: производная функции y=f(x) в точке
x0 равна угловому коэффициенту каса-
тельной, проведенной в точке с абсцис-              0
                                                        x0              x
сой x0 к графику функции y=f(x), т.е.
 f ′(x ) = k (рис. 41)
                                                      Рис. 41