Математика и информатика. Филимонова Л.В - 50 стр.

                                       50

                                                           ⎛ 1 ⎞
дется номер N, начиная с которого выполняется неравенство ⎜⎜ ⎟⎟ <ε .
                                                                          ⎝ an ⎠
      Теорема 8.2.1. Если последовательность a1, a2, …, an, … беско-
                                        1 1      1
нечно велика, то последовательность       , ,..., ... бесконечно мала.
                                        a1 a2    an
                                                     1 1    1
Обратно, если a1, a2, …, an, … бесконечно мала, то , ,..., ... беско-
                                                     a1 a2  an
нечно велика.

                 п.3 Предел последовательности
     Опр 8.3.1 последовательность a1, a2, …, an, … имеет предел а ,
если последовательность с общим членом an=an-a бесконечно мала.
Пишут lim an = a
           n →∞
     Свойства пределов:
1) Если lim  an = a и lim bn = b , то lim (an + bn ) = a + b
        n →∞          n →∞            n →∞

2) Если lim  an = a и lim bn = b , то lim ( an bn ) = ab
        n →∞          n →∞            n→∞

2) Если lim  an = a и lim bn = b , причем b≠0 и все bn≠0, то
        n →∞          n→∞

   lim(an / bn ) = a / b
   n →∞

                                     3n 2 + 2n − 1
Пример 8.3.1: Вычислить предел: lim
                                n →∞ 4n 2 + 6n + 7

Решение: разделим числитель и знаменатель дроби на n2 и применим
свойства предела:
                           2 1         ⎛      2 1 ⎞
                       3+    − 2 nlim  ⎜3 +    − 2 ⎟ 3 + lim 2 − lim 1
     3n + 2n − 1
       2
                           n  n     →∞
                                       ⎝      n n ⎠      n→∞ n   n →∞ n 2  3
lim 2            = lim          =                   =                     = .
n →∞ 4n + 6n + 7           6 7                                 6        7
                        4 + + 2 lim⎛⎜ 4 +
                   n →∞                       6 7 ⎞                        4
                                               + 2 ⎟ 4 + lim + lim 2
                           n n    n →∞
                                       ⎝      n n ⎠      n → ∞ n n → ∞ n
      Вообще, если общий член последовательности является дробью,
в числителе которой стоят многочлены от n, имеющие одну и туже
степень, то предел этой последовательности равен отношению коэф-
фициентов при старших членах:
                                           4n 3 − 6n + 1
Пример 8.3.2 Вычислите предел lim   n → ∞ 8n 3 + 5n 2 + 9

                 4n 3 − 6n + 1 4 1
Решение: lim                    = =
          n → ∞ 8n 3 + 5n 2 + 9  8 2

                         п4. Предел функции
     Опр 8.4.1: Промежуток (a-δ;a+δ) с
центром в точке а называется окрестностью                  a-δ; а   a+δ
точки а радиуса δ (рис. 40).                                               Рис. 40